Kilka zadań maturalnych z kiełbasy.

[poczekaj]

1.

\(\displaystyle{ f_{(x)}=\sqrt{4-x}-2\sqrt{x}}\)

Zbadaj (na podstawie definicji)monotoniczność funkcji \(\displaystyle{ f}\).

I czy tu należy robić obliczenia typu :

\(\displaystyle{ f_{(x_{1})}-f_{(x_{2})}.....}\) i sprawdzić czy np \(\displaystyle{ f_{(x_{1})}

Pozdrawiam i z góry dziękuję za pomoc

Korekta ortograficzna.
max}\)

[Plant]

4. Funkcja nieparzysta, czyli f(-x)=-f(x), czyli f(0)=-f(0). Jest tylko jedna liczba, której przeciwieństwo jej równe jej samej.

[Lady Tilly]

2)
\(\displaystyle{ x_{1}}\)

[Plant]

5. Najlepiej policzyć pochodną, która pokaże, że funkcja jest rosnąca. No ale z definicji:
Niech \(\displaystyle{ a,b \mathbb{R} a0}\)
\(\displaystyle{ f(a)=a^3+2a-3 \\ f(b)=b^3+2b-3}\)

\(\displaystyle{ f(b)-f(a)=b^3-a^3+2(b-a)>0}\), czyli dla każdego a,b jeśli a

[poczekaj]

Nie ma błędów w treści.

[Plant]

Przepisałeś bez błędów, ale mi to się wydaje dziwne.. Może jakaś usterka w książce.

[max]

1.

\(\displaystyle{ f_{(x)}=\sqrt{4-x}-2\sqrt{x}}\)

Zbadaj (na podstawie definicji)monotoniczność funkcji \(\displaystyle{ f}\).

I czy tu należy robić obliczenia typu :

\(\displaystyle{ f_{(x_{1})}-f_{(x_{2})}.....}\) i sprawdzić czy np \(\displaystyle{ f_{(x_{1})} D_{f}\\
x_{1} < x_{2}}\)
a następnie badać znak różnicy \(\displaystyle{ f_{(x_{1})} - f_{(x_{2})}}\)

[poczekaj]

W takim układzie poproszę o rozwiązanie tego.

[max]

\(\displaystyle{ D_{f} = [0, 4]}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}\in [0, 4]}\) przy czym \(\displaystyle{ x_{1} < x_{2}}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ f_{(x_{1})} - f_{(x_{2})} = (\sqrt{4 - x_{1}} - 2\sqrt{x_{1}}) - (\sqrt{4 - x_{2}} - 2\sqrt{x_{2}}}) = \\
= (\sqrt{4 - x_{1}} - \sqrt{4 - x_{2}})\cdot\frac{\sqrt{4 - x_{1}} + \sqrt{4 -x_{2}}}{\sqrt{4 - x_{1}} + \sqrt{4 - x_{2}}} + 2(\sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}})\cdot \frac{\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}}{\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}} =\\
= \frac{x_{2} - x_{1}}{\sqrt{4 - x_{1}} + \sqrt{4 -x_{2}}}+ 2\cdot \frac{x_{2} - x_{1}}{\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}} > 0}\)
Zatem na mocy założenia \(\displaystyle{ f_{(x_{1})} - f_{(x_{2})} > 0}\), więc funkcja jest malejąca.