Obliczyć sume elementarnymi metodami

[Arsakes]

Witam,
problem polega na tym be elementarnymi metodami(przekształcenia) i korzystając z własności granicy, pokazać że następująca suma(całka):

\(\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b} \frac{dr}{r^{2}}}\)

jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{r_{a}} - \frac{1}{r_{b}}}\)

aha i jeszcze \(\displaystyle{ r_{b}> r_{a} > 0}\)
Z góry dziękuje za wszelką formę pomocy.

[luka52]

Korzystając z def. całki oznaczonej możemy zapisać następującą sumę:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 1}^n ft( \frac{1}{\left( a + \frac{(b-a)i}{n} \right)^2} \frac{b-a}{n} \right) = \lim_{n \to +\infty} \frac{n ft( \psi ' ft( 1 - \frac{bn}{a-b} \right) - \psi ' ft( 1 - \frac{an}{a-b} \right) \right)}{a-b}}\)
Nie wiem czy można to jakoś uprościć, ale przy obliczeniach numerycznych wszystko się zgadza ??:

[Arsakes]

Dziękuje za odpowiedź,
Nie rozumiem jednak tego przejścia, co oznacza litera psi z apostrofem po prawej stronie równości? Domyślam się że jest to pochodna ale czego?

[luka52]

Co do tego oznaczenia \(\displaystyle{ \psi'}\) oznacza pochodną funkcji (nie mam pojęcia jak to się na j. polski tłumaczy).

A co do przejścia, no to cóż - trzeba wykonać takie sumowanie i niestety nie wygląda to prosto

[max]

Można obrać:
\(\displaystyle{ x_{i} = \sqrt[n]{a^{n - i}b^{i}} = a\left(\sqrt[n]{\frac{b}{a}}\right)^{i}}\)
i obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n\to }\sum_{i = 0}^{n - 1}\frac{\Delta x_{i}}{(x_{i})^{2}}}\)