punkt przegięcia
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
punkt przegięcia
zad
Wykazać, że punkt (0,0) jest punktem przegięcia wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^3+x^{4}sin\frac{\pi}{x}}\)
Wykazać, że punkt (0,0) jest punktem przegięcia wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^3+x^{4}sin\frac{\pi}{x}}\)
- alia
- Użytkownik
- Posty: 102
- Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:39
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 23 razy
punkt przegięcia
może policzenie drugiej pochodnej i zbadanie granicy przy \(\displaystyle{ x\to 0}\) coś pomoże ?
Ostatnio zmieniony 29 sie 2007, o 15:33 przez alia, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 813
- Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
- Pomógł: 206 razy
punkt przegięcia
\(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty}\) i \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty}\)
f.nieparzysta i dalej \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0}f(x)=0}\), co oznacza, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) dąży do zera, ale nie ma wartości w zerze, ze względu na założenia.
po policzeniu pierwszej pochodnej (proszę policzyć) zauważamy, że \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0^{+-}}f^\prime(x)=0}\), co oznacza, że prosta \(\displaystyle{ y=0}\) jest styczną poziomą wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) w punkcie \(\displaystyle{ (0,0).}\)
Zgodnie z zasadą, że pochodna funkcji nieparzystej jest funkcją parzystą, a pochodna funkcji parzystej jest funkcją nieparzystą wynika, że druga pochodna \(\displaystyle{ f^\prime(x)}\) jest funkcją nieparzystą i spełniony jest warunek \(\displaystyle{ f(-x)=-f(x)}\), czyli druga pochodna zmienia znak.
Zatem podsumowując istnieje w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) styczna pozioma do wykresu funkcji i druga pochodna zmienia znak po przejściiu przez punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\), co wynika z nieparzystości tej funkcji, zatem początek układu współrzędnych funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) jest punktem przegięcia wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\).
f.nieparzysta i dalej \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0}f(x)=0}\), co oznacza, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) dąży do zera, ale nie ma wartości w zerze, ze względu na założenia.
po policzeniu pierwszej pochodnej (proszę policzyć) zauważamy, że \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0^{+-}}f^\prime(x)=0}\), co oznacza, że prosta \(\displaystyle{ y=0}\) jest styczną poziomą wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) w punkcie \(\displaystyle{ (0,0).}\)
Zgodnie z zasadą, że pochodna funkcji nieparzystej jest funkcją parzystą, a pochodna funkcji parzystej jest funkcją nieparzystą wynika, że druga pochodna \(\displaystyle{ f^\prime(x)}\) jest funkcją nieparzystą i spełniony jest warunek \(\displaystyle{ f(-x)=-f(x)}\), czyli druga pochodna zmienia znak.
Zatem podsumowując istnieje w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) styczna pozioma do wykresu funkcji i druga pochodna zmienia znak po przejściiu przez punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\), co wynika z nieparzystości tej funkcji, zatem początek układu współrzędnych funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) jest punktem przegięcia wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\).
- Lady Tilly
- Użytkownik
- Posty: 3807
- Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: nie wiadomo
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 712 razy
punkt przegięcia
Funkcja ma punkt przegięcia w \(\displaystyle{ x=x_{0}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje \(\displaystyle{ r{\in}R_{+}}\) dla którego jest ona ściśle wklęsła na przedziale \(\displaystyle{ [x_{0}-r,x_{0}]}\) i ściśle wypukła na przedziale \(\displaystyle{ [x_{0},x_{0}+r]}\) lub odwrotnie - ściśle wypukła na \(\displaystyle{ [x_{0}-r,x_{0}]}\) i ściśle wklęsła na \(\displaystyle{ [x_{0},x_{0}+r]}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy