prosta zbieżność szeregu

[Novy]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln^{2}(2n)}{n^{3}}}\)

[max]

Ponieważ:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{\ln^{2}(2n)}{n} = 0}\)
to istnieje takie \(\displaystyle{ n_{0}\in \mathbb{N}}\), że dla każdego \(\displaystyle{ n > n_{0}}\) spełniona jest nierówność:
\(\displaystyle{ \ln^{2}(2n) < n}\)
a tym samym również:
\(\displaystyle{ \frac{\ln^{2}(2n)}{n^{3}} < \frac{n}{n^{2}} = \frac{1}{n^{2}}}\)
i wobec kryterium porównawczego oraz zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}}\) możemy wnioskować, że badany szereg jest zbieżny.

[Novy]

czyli normalnie kryt. porownawcze + szereg harmoniczny. jasne, dzieki
a jeszcze jedno pytanko, banalne: jak miałbym prosciutki szereg 1/n, to jego granica jest 0. Czyli nie wiadomo czy zbiezy, czy rozbiezny?

[max]

Chodzi Ci o szereg \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}}\)?
Najprościej będzie posłużyć się kryterium całkowym:
Funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x}}\) jest w przedziale \(\displaystyle{ [1, +\infty]}\) malejąca i przyjmuje wartości dodatnie, przy czym:
\(\displaystyle{ \int f(x)\, dx = \int \frac{dx}{x} = \ln |x|}\)
oraz
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}\ln x = +\infty}\)
czyli szereg jest rozbieżny.
Zresztą można też tę rozbieżność pokazać elementarnie, wychodząc od nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 1} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}}\)