Całka

[waaaski]

Witam!
Czy poniższą całkę można rozwiązać w taki sposób:
\(\displaystyle{ \int \frac{x^2dx}{x^3-1}}\) podstawienie \(\displaystyle{ t=x^3-1, \quad dt=3x^2dx}\) ?

Jeżeli nie, to prosiłbym o wytłumaczenie dlaczego... Jeżeli tak to czy istnieje jeszcze jakiś sposób i jak on się nazywa?
Pozdrawiam.

Znaków typu: "�, �, �, itd." nie należy stosować w kodzie LaTeX-a!
luka52

[luka52]

Tak, możesz zastosować podstawienie lub rozłożyć funkcję podcałkową na sumę ułamków prostych.

[qaz]

oczywiście, że można w ten sposób. Można tez zastosowac ogolne standardy dotyczace całek z funkcji wymiernych> Przykłady zobacz sobie

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node72.html

[waaaski]

Dziękuję uprzejmie

[ Dodano: 29 Sierpnia 2007, 20:51 ]
Mam kolejny problem, a mianowicie...
czy tą całkę można rozwiązać w taki sposób:
\(\displaystyle{ \int\sin \sqrt{x}\quad dx}\) podstawienie \(\displaystyle{ t=\sqrt{x}}\)
w wyniku czego może wyjść:
\(\displaystyle{ 2\sqrt{x}\int\sin t \quad dt}\) ?
Wydaje mi się, że nie można tak wyciągnąć pierwiastka, ale nie mam pomysłu jak to rozwiązać

[soku11]

Tak nie mozna :/ Ja bym ja rozwiazal w taki sposob:
\(\displaystyle{ \int sin\sqrt{x} dx \\
\sqrt{x}=t\\
x=t^{2}\\
dx=2tdt\\
2\int t\cdot sint dt\\
u=t\qquad dv=sintdt\\
du=dt\qquad v=-cost\\
2(-tcost+\int costdt )=
2(sint-tcost)=2(sin\sqrt{x}-\sqrt{x}cos\sqrt{x})}\)


Powinno byc ok. POZDRO

[waaaski]

Po raz kolejny dziękuję i proszę o dalszą pomoc...
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{e^{x}-1}}\)

[luka52]

Wystarczy licznik i mianownik przemnożyć przez \(\displaystyle{ e^x}\), podstawić \(\displaystyle{ t = e^x}\) i otrzymamy:
\(\displaystyle{ \int \frac{dt}{t(t-1)}}\)
dalej "rozbijasz" na ułamki proste i gotowe

[qaz]

...=
\(\displaystyle{ \frac{1}{t(t-1)}=\frac{a}{t}+\frac{b}{t-1}}\)
\(\displaystyle{ 1=a(t-1)+bt}}\)
\(\displaystyle{ 1=t(a+b)-a}\)
\(\displaystyle{ a=-1}\)
\(\displaystyle{ b=1}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{t(t-1)}=\int \frac{-1}{t}+ t \frac{1}{t-1}=\ln{(t-1)}- \ln{t}}\)

[waaaski]

Faktycznie, bez większej filozofii...
Dziękuję i pozdrawiam