punkt przegięcia

[robin5hood]

zad
Wykazać, że punkt (0,0) jest punktem przegięcia wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^3+x^{4}sin\frac{\pi}{x}}\)

[alia]

może policzenie drugiej pochodnej i zbadanie granicy przy \(\displaystyle{ x\to 0}\) coś pomoże ?

[robin5hood]

nie istnieje ta granica

[alia]

To ciekawe wyzwanie, postaram się z nim zmierzyć.

[Grzegorz t]

\(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty}\) i \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty}\)
f.nieparzysta i dalej \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0}f(x)=0}\), co oznacza, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) dąży do zera, ale nie ma wartości w zerze, ze względu na założenia.
po policzeniu pierwszej pochodnej (proszę policzyć) zauważamy, że \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0^{+-}}f^\prime(x)=0}\), co oznacza, że prosta \(\displaystyle{ y=0}\) jest styczną poziomą wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) w punkcie \(\displaystyle{ (0,0).}\)
Zgodnie z zasadą, że pochodna funkcji nieparzystej jest funkcją parzystą, a pochodna funkcji parzystej jest funkcją nieparzystą wynika, że druga pochodna \(\displaystyle{ f^\prime(x)}\) jest funkcją nieparzystą i spełniony jest warunek \(\displaystyle{ f(-x)=-f(x)}\), czyli druga pochodna zmienia znak.
Zatem podsumowując istnieje w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) styczna pozioma do wykresu funkcji i druga pochodna zmienia znak po przejściiu przez punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\), co wynika z nieparzystości tej funkcji, zatem początek układu współrzędnych funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) jest punktem przegięcia wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\).

[max]

Grzegorz t możesz wyjaśnić co to znaczy, że funkcja w jakimś punkcie zmienia znak?

[Lady Tilly]

Funkcja ma punkt przegięcia w \(\displaystyle{ x=x_{0}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje \(\displaystyle{ r{\in}R_{+}}\) dla którego jest ona ściśle wklęsła na przedziale \(\displaystyle{ [x_{0}-r,x_{0}]}\) i ściśle wypukła na przedziale \(\displaystyle{ [x_{0},x_{0}+r]}\) lub odwrotnie - ściśle wypukła na \(\displaystyle{ [x_{0}-r,x_{0}]}\) i ściśle wklęsła na \(\displaystyle{ [x_{0},x_{0}+r]}\).

AU

6c74cae613b986af.jpg (8.65 KiB) Przejrzano 72 razy

[max]

Jeśli przyjąć taką definicję punktu przegięcia, to nie jest ona w tym przypadku spełniona...

[robin5hood]

Czy Grzegorza rozwiązanie jest nieprawidłowe?