Pytanie testowe z rozkł. ciągłym

[CheGitarra]

Kolejne pytanie testowe:

\(\displaystyle{ (X_{n})_{n \in N}}\) - ciąg niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie danym dystrybuantą
\(\displaystyle{ F(x)= \left\{\begin{array}{l} 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \leqslant 0 \\ x/4 \ \ \ \ 0 \leqslant x \leqslant 4\\1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x> 4 \end}\)

Wtedy:

\(\displaystyle{ a) P(\sum_{n=1}^{100} X_{n} < 200)=0.5 \\
b) P(\sum_{n=1}^{300} X_{n} < 560) + P(\sum_{n=1}^{300} X_{n} < 640) = 1 \\
c) P(580 < \sum_{n=1}^{300} X_{n} < 620) = 2 \phi (2) \\
d) P(|\sum_{n=1}^{300} X_{n} - 600| \leqslant 20 ) = 2 \phi (1) \\
e) P(| \sum_{n=1}^{100} X_{n}| \leqslant 20) > 0.5 \\}\)

Pierwsze dwa robię "na rozum" - skoro to rozkład jednostajny to ilość prób nie zmienia prawdopodobieństwa i jest dla picu - zmienia jakby tylko przedział, od 0 do 400 w pierwszym i od 0 do 1200 w 2-gim, oba są prawdziwe. Ale co dalej? Ta \(\displaystyle{ \phi}\) mi się nie podoba, sugerowałoby, że jakoś inaczej się to robi... nie mam pomysłu na to ??:

[jovante]

Wiemy, że zmienna \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} X_i}\) ma średnią \(\displaystyle{ 2n}\) i wariancję \(\displaystyle{ \frac{4n}{3}}\). Splot n rozkładów jednostajnych dąży (wraz z n) do rozkładu normalnego o powyższych parametrach, zatem w celu rozwiązania zadania wystarczy zastosować CTG. Sądząc po symbolu dystrybuanty ustandaryzowanego rozkładu normalnego (\(\displaystyle{ \Phi}\)) taka też zapewne była intencja autora tego zadnia. Swoją drogą wyprowadzenie dokładnego wzoru na ten splot dla tak dużych n byłoby dosyć karkołomne.

Z drugiej strony można zauważyć, że w punktach c) i d) po prawej stronie równości mamy liczby >1, zatem równości te muszą być fałszywe. Z kolei fałszywość nierówności z punktu e) wynika natychmiast z prawdziwości równości w punkcie a).

[CheGitarra]

Dzięki, ale co może znaczyć ten zapis w d) po lewej stronie? Jak obliczyć to P pomijając, że prawa strona jest bzdurna?

EDIT chyba już wiem
\(\displaystyle{ P(|\sum_{n=1}^{300} X_{n} - 600| qslant 20 ) = P(-20 qslant \sum_{n=1}^{300} X_{n} - 600 qslant 20) = \\ = P(580 qslant \sum_{n=1}^{300} X_{n} qslant 620) = P(-0.15 qslant Y qslant 0.15) = 2*0,5596 - 1 = 0,1192}\)

Tak?

[jovante]

OK, zrobię przykład, który zacząłeś, co pozwoli zobrazować metodę (pozostałe podpunkty robi się analogicznie)

\(\displaystyle{ E\left(\sum_{n=1}^{300} X_n\right)=600 \\ D^2\left(\sum_{n=1}^{300} X_n\right)=400}\)

\(\displaystyle{ P(|\sum_{n=1}^{300} X_{n} - 600| qslant 20 ) = P(-20 qslant \sum_{n=1}^{300} X_{n} - 600 qslant 20) = \\ = P(580 qslant \sum_{n=1}^{300} X_{n} qslant 620) = P(\frac{580-600}{\sqrt{400}} qslant U qslant \frac{620-600}{\sqrt{400}}) = \\ =P(-1 qslant U qslant 1)=2\Phi(1) - 1 = 0,6827}\)

\(\displaystyle{ \Phi(x)}\) to wartość dystrybuanty rozkładu \(\displaystyle{ N(0;1)}\) w punkcie \(\displaystyle{ x}\), którą odczytujemy z tablic ustandaryzowanego rozkładu normalnego

[CheGitarra]

Wiemy, że zmienna [...] ma średnią \(\displaystyle{ 2n}\) i wariancję \(\displaystyle{ \frac{4n}{3}}\).

Skąd w sumie wiemy, że ma taką wariancję? Wzór na wariancję rozkł. jednostajnego jest inny, a normalnego jeszcze inny...?

[jovante]

Dla niezależnych zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_i}\) zachodzi \(\displaystyle{ D^2\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}D^2{X_i}}\)

W Twoim przypadku wszystkie zmienne \(\displaystyle{ X_i}\) są niezależne i mają taką samą wariancję \(\displaystyle{ \int_{0}^{4} \frac{(x-2)^2}{4}dx=\frac{4}{3}}\).

[CheGitarra]

No i w sumie nawet by się zgadzało z tym co w książce stoi... dzięki

[TS]

W 4. poście:
dlaczego standaryzuje się tam \(\displaystyle{ N(m,\sigma^2)}\) a nie \(\displaystyle{ N(mn,\sqrt{n}\sigma)?}\)