Podstawienie tgx/2

[szczepanczyk]

Witam... Chcę rozwiązać całkę:

\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{sinx+cosx+2}}\) ... podstawiam:

\(\displaystyle{ dx = \frac{2dt}{t^2+1},}\) \(\displaystyle{ sinx = \frac{2t}{t^2+1},}\) \(\displaystyle{ cosx = \frac{1-t^2}{1+t^2},}\) i wychodzi mi coś wielkiego- \(\displaystyle{ \int\frac{\frac{2dt}{t^2+1}}{\frac{2t}{t^2+1}+\frac{1-t^2}{1+t^2}+2}}\) i nie wiem jak to potem ugryźć, co skrócić ale zdaję sobie sprawę że nie jest to trudne... tylko niestety moja amatematyczna głowa nie jest w stanie tego objąć Z góry dziękuję za pomoc...

[qaz]

najpierw dodajesz ułamki w mianowniku, a potem pozbywasz się piętrowca mnożąc licznik przez odwrotnosc mianownika. Cos sie pewnie uprosci ...

[szczepanczyk]

No tak , ale co mam zrobić dokładniej z tą dwójką jak już dodam te ułamki w mianowniku ???

[soku11]

Dokladnie to tak:
\(\displaystyle{ M:\ \frac{2t}{t^2+1}+\frac{1-t^2}{t^2+1}+\frac{2(t^2+1)}{t^2+1}=
\frac{2t+1-t^2+2t^2+2}{t^2+1}=
\frac{t^2+2t+3}{t^2+1}\\
t \frac{2dt}{t^2+1}\cdot \frac{t^2+1}{t^2+2t+3}=
2\int \frac{dt}{t^2+2t+3}=...}\)


POZDRO

[setch]

\(\displaystyle{ 2=\frac{2(t^2+1)}{t^2+1}}\)
Zauważ, że \(\displaystyle{ t^2+1}\) z licznika i mianownika można skrócić.

[szczepanczyk]

Dziękuję za podpowiedzi... z obliczeń dalszych wyszło mi coś takiego i podejrzewam że raczej jak to zostawię w takiej postaci na kolokwium to też nie będzie dobrze... Mógłbym jeszcze raz prosić o pomoc w uproszczeniu tego wyrażenia ?

\(\displaystyle{ \sqrt{2} arctg\frac{tg\frac{x}{2}+1}{\sqrt{2}}}\)

Dziękuję z góry...