granica do policzenia
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
granica do policzenia
Wyrażenie pod granicą na pewno tak wygląda?
A może \(\displaystyle{ m\to +\infty}\)? (chociaż wtedy z Hospitala nie można skorzystać)
A może \(\displaystyle{ m\to +\infty}\)? (chociaż wtedy z Hospitala nie można skorzystać)
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
granica do policzenia
Tyle wynosi granica:
\(\displaystyle{ \lim_{m\to \infty} m(\sqrt[m]{x} - 1) = \lim_{m\to \infty}\frac{x^{\frac{1}{m}} - 1}{\frac{1}{m}} \stackrel{t = \frac{1}{m}}{=} \lim_{t\to 0}\frac{x^{t} - 1}{t}}\)
dla \(\displaystyle{ x\in (0, 1)\cup (1, +\infty)}\)
przy czym nie możemy tu skorzystać z reguły de l'Hospitala, bo aby wyznaczyć pochodną funkcji wykładniczej musielibyśmy znać wartość ostatniej granicy. Można ją natomiast obliczyć w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{x^{t} - 1}{t} \stackrel{t = \log_{x}(u + 1)}{=} \lim_{u \to 0} \frac{u + 1 - 1}{\log_{x} (1 + u)} =\\
= \lim_{u\to 0}\frac{1}{\log_{x}(1 + u)^{1/u}} = \frac{1}{\log_{x}e} = \ln x}\)
\(\displaystyle{ \lim_{m\to \infty} m(\sqrt[m]{x} - 1) = \lim_{m\to \infty}\frac{x^{\frac{1}{m}} - 1}{\frac{1}{m}} \stackrel{t = \frac{1}{m}}{=} \lim_{t\to 0}\frac{x^{t} - 1}{t}}\)
dla \(\displaystyle{ x\in (0, 1)\cup (1, +\infty)}\)
przy czym nie możemy tu skorzystać z reguły de l'Hospitala, bo aby wyznaczyć pochodną funkcji wykładniczej musielibyśmy znać wartość ostatniej granicy. Można ją natomiast obliczyć w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{x^{t} - 1}{t} \stackrel{t = \log_{x}(u + 1)}{=} \lim_{u \to 0} \frac{u + 1 - 1}{\log_{x} (1 + u)} =\\
= \lim_{u\to 0}\frac{1}{\log_{x}(1 + u)^{1/u}} = \frac{1}{\log_{x}e} = \ln x}\)
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
granica do policzenia
Zgadza się, ale wyprowadzenie wzoru:
\(\displaystyle{ (x^{t})'_{t} = x^{t}\ln x}\)
opiera się na tym, że:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{x^{t} - 1}{t} = \ln x}\)
i kółeczko się zamyka...
\(\displaystyle{ (x^{t})'_{t} = x^{t}\ln x}\)
opiera się na tym, że:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{x^{t} - 1}{t} = \ln x}\)
i kółeczko się zamyka...