Ile wynosi granica takiej funkcji?
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }[xln(e+1/x)-x]}\)
Granica funkcji
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Granica funkcji
Do nieskończoności dąży chyba \(\displaystyle{ x}\)?
\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty} [x\ln(e + \tfrac{1}{x}) - x] = \lim_{x\to +\infty} [x(\ln (e + \tfrac{1}{x}) - 1)] =\\
= \lim_{x\to +\infty} [x\ln (1 + \tfrac{1}{ex})] = \lim_{x\to +\infty}\ln (1 + \tfrac{1}{ex})^{x} = \frac{1}{e}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty} [x\ln(e + \tfrac{1}{x}) - x] = \lim_{x\to +\infty} [x(\ln (e + \tfrac{1}{x}) - 1)] =\\
= \lim_{x\to +\infty} [x\ln (1 + \tfrac{1}{ex})] = \lim_{x\to +\infty}\ln (1 + \tfrac{1}{ex})^{x} = \frac{1}{e}}\)
- DEXiu
- Użytkownik
- Posty: 1174
- Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jaworzno
- Pomógł: 69 razy
Granica funkcji
Nie wiem czy się gdziesik nie walnąłem ale wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{1}{e}}\) ??:
Wyciągnij x przed nawias i zamień to do postaci "jadalnej" (tzn. z nieoznaczoności typu \(\displaystyle{ [0\cdot\infty]}\) zrób \(\displaystyle{ [\frac{0}{0}]}\) lub \(\displaystyle{ [\frac{\infty}{\infty}]}\) (najlepiej doprowadź do postaci \(\displaystyle{ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(e+\frac{1}{x})-1}{\frac{1}{x}}}\)), potem de l'Hospital i już
Yyy... max jesteś pewny tych przekształceń?
Wyciągnij x przed nawias i zamień to do postaci "jadalnej" (tzn. z nieoznaczoności typu \(\displaystyle{ [0\cdot\infty]}\) zrób \(\displaystyle{ [\frac{0}{0}]}\) lub \(\displaystyle{ [\frac{\infty}{\infty}]}\) (najlepiej doprowadź do postaci \(\displaystyle{ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(e+\frac{1}{x})-1}{\frac{1}{x}}}\)), potem de l'Hospital i już
Yyy... max jesteś pewny tych przekształceń?
Ostatnio zmieniony 28 sie 2007, o 20:53 przez DEXiu, łącznie zmieniany 1 raz.
- dasmany
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 27 sie 2007, o 18:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Świnoujście
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1 raz
Granica funkcji
Z tych przekształceń korzystamy:
\(\displaystyle{ 1=\ln{e}}\)
\(\displaystyle{ \log_{a}\frac{b}{c}=\log_a{b}-\log_a{c}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to } \frac{1}{x} = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to {0}} \frac{\ln (1+x)}{x} = 1}\)
Wynik wychodzi: \(\displaystyle{ \frac{1}{e}}\)
\(\displaystyle{ 1=\ln{e}}\)
\(\displaystyle{ \log_{a}\frac{b}{c}=\log_a{b}-\log_a{c}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to } \frac{1}{x} = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to {0}} \frac{\ln (1+x)}{x} = 1}\)
Wynik wychodzi: \(\displaystyle{ \frac{1}{e}}\)
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Granica funkcji
\(\displaystyle{ \ln (1 + \frac{1}{ex})^x = \frac{1}{e}\cdot e \ln (1 + \frac{1}{ex})^x = \frac{1}{e}\cdot \ln (1 + \frac{1}{ex})^{ex}}\)luka52 pisze:A dlaczego jest:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} \ln (1 + \frac{1}{ex})^x = \frac{1}{e}}\)
Z czego to wynika?
yyy... tak?Yyy... max jesteś pewny tych przekształceń?