[Równania] układ równań

[zaudi]

Rozwiąż w liczbach naturalnych x,y,z układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^{3}-y^{3}-z^{3}=3xyz\\x^{2}=2(x+y+z)\end{cases}}\)

[szopa]

\(\displaystyle{ x^{3}-y^{3}-z^{3}-3xyz=(x-y-z)\frac{1}{2}((x+y)^{2}+(y-z)^{2}+(z+x)^{2})=0 x=y+z

x^{2}=2x+2(y+z)

x=y+z=(x^{2}-2x)\frac{1}{2}

x^{2}-4x=0

x(x-4)=0 x=4, y=z=2}\)

[Efendi]

Są jeszcze inne rozwiązania, np. x=y=z=0, albo x=y=4, z=0, albo x=4, y=3, z=1

[zaudi]

Jak by była tak możliwość czy mókłbyś rozpisać pierwsze równanie jak do tego doszedłeś.

[szopa]

\(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})-3xyz-xy^{2}-xz^{2}-yx^{2}-yz^{2}-zx^{2}-zy^{2}=
(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})-xy(z+y+x)-yz(x+z+y)-zx(y+z+x)=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})-(x+y+z)(xy+yz+zx)=
(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)=\frac{1}{2}(x+y+z)((x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2})}\)

[zaudi]

Jesteś dobry w te klocki, dzięki. Na te przekształcenia sam wpadłeś czy masz jakąś książkę czy stronę internetową na której sa takie różne przekształcenia.

[szopa]

bardzo pomocny wzór w niektorych zadaniach, a ksiazka to impresje liczbowe, autor Lev Kourliandtchik, bardzo fajna:P