Pytania testowe

[CheGitarra]

Mam kłopoty z tymi pytankami - może ktoś mógłby je pokrótce rozwiązać

1) A i B są zdarzeniami z tej samej przestrzeni probabilistycznej. Wiadomo, że
\(\displaystyle{ P(AB)=3/4, P(AB)=1/2, P(A')=1/3}\)
Wtedy

\(\displaystyle{ a) P(A \cap B')=1/6 \\
b) P(A \cup B')=1/12 \\
c) P(B'|A)=3/5}\)



2) Zmienna losowa \(\displaystyle{ Y = X^2}\) ma rozkład zero-jedynkowy i \(\displaystyle{ P(Y=0)=1/2}\). Wiadomo także, że \(\displaystyle{ F_{X}(1/2)=2/3}\).
Wtedy:

\(\displaystyle{ a) P(X=1)=1/2 \\
b) Jesli \ x (-1;0], to \ F_{X}(x)=1/6 \\
c)cov(X,Y)=1/12 \\
d)VX=1/4 \\
e)EXY = EX*EY}\)



3) Dwuwymiarowa zmienna losowa \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład normalny \(\displaystyle{ N(\left[\begin{array}{ccc}1\\-1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&5\end{array}\right])}\).
Wtedy:

\(\displaystyle{ a) f_{XY}(x,y)=1/4\pi \ e^{-1/8(5(x-1)^2 -2(x-1)(y+1) + (y+1)^2)} \\
b) Zmienna \ losowa \ (X+2Y, 2X-Y) \ ma \ rozklad \ normalny \ N(\left[\begin{array}{ccc}-1\\3\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}25&-5\\-5&5\end{array}\right]) \\
c) \rho_{X+2Y,2X-Y} = - \sqrt{5} / 5 \\
d) Jesli \ Z = X + 2Y. \ to \ f_{Z}(z) = 1/5\sqrt{2\pi} \ e^{ -(z+1)^2/50} \\
e) X \ i \ Y \ sa \ niezalezne}\)



PS przepisanie tego zajęło mi 25 minut i bynajmniej nie uważam, że teraz wygląda czytelniej

[Emiel Regis]

Zadanie 1.
Zakładam takie dane:
\(\displaystyle{ P(A \cup B)= \frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ P(A \cap B)= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ P(A')= \frac{1}{3} => P(A)= \frac{2}{3}}\)
teraz:
\(\displaystyle{ P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B) => P(B)=\frac{7}{12}}\)
a)
\(\displaystyle{ P(A \cap B')=P(A-(A \cap B))=P(A)-P(A \cap B)= \frac{1}{6}}\)
b)
\(\displaystyle{ P(A \cup B')=P(B' \cup (A \cap B))=P(B')+P(A \cap B)=\frac{11}{12}}\)
c)
\(\displaystyle{ P(B'|A)=\frac{P(B' \cap A)}{P(A)}=\frac{1}{4}}\)

w b) na pewno masz zły wynik bo \(\displaystyle{ P(A \cup B') qslant P(A)}\) zawsze.

[CheGitarra]

Dzięki za odpowiedź... szkoda, że nadal \(\displaystyle{ 2}\) pytania zostają bez odpowiedzi...

[Emiel Regis]

Jeśli nikt nie rozwiaże to drugie zrobię pewnie za 2-3 dni. Powtarzam materiał i przede mną wlasnie wartosc oczekiwana oraz kowariancja wiec niedlugo powinno być.

[CheGitarra]

No to fajnie, czekam niecierpliwie Z tym trzecim jakoś walczę, bo mam coś na ten temat w książce ale to 2-gie jest jakieś dziwne... jeśli to rozkład 2 pkt to są 2 prawdopodobieństwa, p oraz q = 1 - p, ale jeśli p = 1/2 to też q = 1/2... oO

[Emiel Regis]

Przysiadlem z ciekawosci do drugiego zadania i mam pewne dylematy ideologiczne, bo albo ja jego nie rozumiem albo te odpowiedzi ktore dałeś są po prostu błędne.
Spójrz:
\(\displaystyle{ P(Y=0)=P(Y=1)=\frac{1}{2}}\)
Z tego, że \(\displaystyle{ Y=X^2}\) wynika, że X może przyjmować co najwyzej wartosci ze zbioru {-1, 0, 1}.
\(\displaystyle{ P(Y=0)=P(X^2=0)=\frac{1}{2}}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ F_X(\frac{1}{2})=\frac{2}{3}=> P(X=-1)=\frac{1}{6}}\)
teraz odpowiedzi:
a) \(\displaystyle{ P(X=1)=\frac{1}{3}}\)
b) \(\displaystyle{ x \in (-1,0) =>F_X(x)=\frac{1}{6}}\)
ew. jeśli dystrybuanta jest zdefiniowana jako lewostronnie ciągła to sie zgodzi:
b) \(\displaystyle{ x \in (-1,0] =>F_X(x)=\frac{1}{6}}\)
Reszta bedzie tak jak obiecałem jutro albo pojutrze. No i napisz skad masz te zadania i odpowiedzi... W sensie czy one są pewne. Bo w 1 zadaniu był oczywisty bład to i moze w drugim jest źle.

[CheGitarra]

Zadania są z mojego 1 i 2 terminu z probabilistyki a odpowiedzi, tak jak napisałem, są testowe, więc wystarczy zaznaczyć, czy jest dobra czy zła

[Emiel Regis]

Tak w ogole to co to VX?
Jedyne co mi przychodzi na myśl to wariancja ale to przeciez jest VarX...
Założę że tak jest.
\(\displaystyle{ EX=-1 \frac{1}{6}+0 \frac{1}{2} +1 \frac{1}{3}=\frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ EX^2=0 \frac{1}{2}+1 \frac{1}{2}=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ D^2X=VarX=EX^2-E^2X=\frac{1}{2}-\frac{1}{36}=\frac{17}{36}}\)