Całki !

[Predatormk]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu bo nie wiem jak się do tego zabrać.

1.\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x^{2}+9)^\frac{3}{2}}}\)
2.\(\displaystyle{ \int \frac{x^{2}}{(1+x)}dx}\)
3.\(\displaystyle{ \int {\sin^{3}xdx}}\)
4.\(\displaystyle{ \int {\cos^{5}x\sqrt{\sin x}dx}}\)

[mol_ksiazkowy]

3. \(\displaystyle{ \int {\sin^{3}xdx}=\int (\sin x (1-\cos^2x)) dx= \int \sin x dx -\int \sin x \cos^2x dx}\)
\(\displaystyle{ i= \int \sin x \cos^2x dx}\) podstawienie \(\displaystyle{ t=\cos x}\)

[soku11]

2.
\(\displaystyle{ \int \frac{x^{2}}{x+1}dx =
\int \frac{x(x+1)-x}{x+1}dx =
\int \frac{x(x+1)}{x+1}-\frac{x}{x+1}dx =\\=
\int \left( \frac{x(x+1)}{x+1}-\frac{x+1-1}{x+1}\right)dx =
\int \left( x-\frac{x+1}{x+1}+\frac{1}{x+1}\right)dx =
\int \left( x-1+\frac{1}{x+1}\right)dx =...}\)

POZDRO

[max]

1. Podstawienie \(\displaystyle{ x = 3\sinh t}\)
4. \(\displaystyle{ \int \cos^{5}x\sqrt{\sin x}\, = t \cos x(1 - \sin^{2}x)^{2}\sqrt{\sin x}\, }\)
Podstawienie \(\displaystyle{ t = \sin x}\)
itd

[luka52]

ad 1.
Podstawienie \(\displaystyle{ t = \frac{\sqrt{9 + x^2}}{x}}\)

[max]

Co kto lubi. Z hiperbolicznego wychodzi całkiem szybko:
\(\displaystyle{ \int \frac{\mbox{d}x}{(x^{2} + 9)^{3/2}} \stackrel{x = 3\sinh t}{=} t \frac{3\cosh t\, \mbox{d}t}{27\cosh^{3} t} = \frac{1}{9}\int \frac{\mbox{d}t}{\cosh^{2} t} =\\
= \frac{1}{9}\tanh t + C =\frac{\sinh t}{9\sqrt{\sinh^{2}t + 1}} + C = \frac{x}{9\sqrt{x^{2} + 9}} + C}\)

[Predatormk]

Dzięki wielkie, naprawdę bardzo mi pomogliście.