zad
wykazac, ze w dowolnym trapezie ABCD, w którym M jest punktem przeciecia przekatnych zachodzi równość
\(\displaystyle{ \frac{|AM||MC|}{|AC|^2}=\frac{|BM||MD|}{|BD|^2}}\)
przekatne w trapezie
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
- Lady Tilly
- Użytkownik
- Posty: 3807
- Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: nie wiadomo
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 712 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
- kuma
- Użytkownik
- Posty: 259
- Rejestracja: 16 sie 2007, o 22:03
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 70 razy
przekatne w trapezie
x-długość |AM|
y-długość |MC|
a-długość |DM|
b-długość |MB|
Z podobieństwa trójkątów ABM i DCM
\(\displaystyle{ \frac{y}{x}=\frac{a}{b}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{yb}{a}}\)
mamy udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{xy}{(x+y)^{2}}=\frac{ab}{(a+b)^{2}}}\)
teraz podstawiamy za x
\(\displaystyle{ \frac{xy}{(x+y)^{2}}=\frac{y*\frac{yb}{a}}{(y+\frac{yb}{a})^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{y*\frac{yb}{a}}{(y+\frac{yb}{a})^2}=\frac{\frac{b}{a}}{(1+\frac{b}{a})^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{b}{a}}{(1+\frac{b}{a})^2}=\frac{ab}{(a+b)^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{b}{a}*((a)^{2}+2ab+(b)^{2})=ab*(\frac{b^{2}}{a^{2}}=2*\frac{b}{a}+1)}\)
\(\displaystyle{ ba+2b^{2}+\frac{b^{3}}{a}=ba+2b^{2}+\frac{b^{3}}{a}}\)
\(\displaystyle{ L=P}\)
y-długość |MC|
a-długość |DM|
b-długość |MB|
Z podobieństwa trójkątów ABM i DCM
\(\displaystyle{ \frac{y}{x}=\frac{a}{b}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{yb}{a}}\)
mamy udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{xy}{(x+y)^{2}}=\frac{ab}{(a+b)^{2}}}\)
teraz podstawiamy za x
\(\displaystyle{ \frac{xy}{(x+y)^{2}}=\frac{y*\frac{yb}{a}}{(y+\frac{yb}{a})^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{y*\frac{yb}{a}}{(y+\frac{yb}{a})^2}=\frac{\frac{b}{a}}{(1+\frac{b}{a})^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{b}{a}}{(1+\frac{b}{a})^2}=\frac{ab}{(a+b)^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{b}{a}*((a)^{2}+2ab+(b)^{2})=ab*(\frac{b^{2}}{a^{2}}=2*\frac{b}{a}+1)}\)
\(\displaystyle{ ba+2b^{2}+\frac{b^{3}}{a}=ba+2b^{2}+\frac{b^{3}}{a}}\)
\(\displaystyle{ L=P}\)