zad
udowodnji, ze jezeli \(\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_n \in\RR_{+}}\) i \(\displaystyle{ x_1\cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n=a}\) i \(\displaystyle{ a \ne 1}\), to
\(\displaystyle{ (\log_{a}x_1)^2+(\log_{a}x_2)^2+...+(\log_{a}x_n)^2 \geqslant \frac{1}{n}.}\)
wykazac nierównosc
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
wykazac nierównosc
Ale Calasilyar, to wcale nie dowodzi naszej tezy. Gdyby kwadrat tej sumy był <= od sumy kwadratów, to wtedy by się zgadzało, a tak to niestety nam nic nie daje
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
wykazac nierównosc
Calasilyar, nierówność \(\displaystyle{ (log_{a}x_{1})^{2}+(log_{a}x_{2})^{2}+...+(log_{a}x_{n})^{2}\geqslant \frac{1}{n}}\) trzeba wykazać, a pokazałeś tylko, że
1. \(\displaystyle{ (log_{a}x_{1}+log_{a}x_{2}+...+log_{a}x_{n})^{2}\ge \frac{1}{n}}\)
2. \(\displaystyle{ (log_{a}x_{1}+log_{a}x_{2}+...+log_{a}x_{n})^{2} \ge (log_{a}x_{1})^{2}+(log_{a}x_{2})^{2}+...+(log_{a}x_{n})^{2}}\)
1. \(\displaystyle{ (log_{a}x_{1}+log_{a}x_{2}+...+log_{a}x_{n})^{2}\ge \frac{1}{n}}\)
2. \(\displaystyle{ (log_{a}x_{1}+log_{a}x_{2}+...+log_{a}x_{n})^{2} \ge (log_{a}x_{1})^{2}+(log_{a}x_{2})^{2}+...+(log_{a}x_{n})^{2}}\)
- Calasilyar
- Użytkownik
- Posty: 2656
- Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 410 razy
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
wykazac nierównosc
Niech \(\displaystyle{ x = min\{x_1,...,x_n\}}\).
Wtedy \(\displaystyle{ a=x_1\cdot ... x_n x^n x a^{\frac{1}{n}}}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ (log_{a}x_{1})^{2}+(log_{a}x_{2})^{2}+...+(log_{a}x_{n})^{2}
(log_{a}x)^{2}+(log_{a}x)^{2}+...+(log_{a}x)^{2} = \\
= n (log_{a}x)^{2} = n ft(\frac{1}{n}log_{a}a\right)^{2} = n \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ a=x_1\cdot ... x_n x^n x a^{\frac{1}{n}}}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ (log_{a}x_{1})^{2}+(log_{a}x_{2})^{2}+...+(log_{a}x_{n})^{2}
(log_{a}x)^{2}+(log_{a}x)^{2}+...+(log_{a}x)^{2} = \\
= n (log_{a}x)^{2} = n ft(\frac{1}{n}log_{a}a\right)^{2} = n \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n}}\)