zbieznosc szeregu liczbowego

[robin5hood]

ZAD
Zbadać zbieżność szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(n^2+n+3)^{\frac{1}{2}(n+1)}}tg\frac{1}{\sqrt{n}}}\)

[Kostek]

Kryterium ilorazowe z szeregiem harmonicznym rzedu \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) i granica wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{e}}\) wiec nasz szereg jest zbiezny

[robin5hood]

Mozesz to bardziej rozpisac

[max]

Myślę, że nie ma powodów by sobie nadmiernie rachunki utrudniać, więc możemy skorzystać z oczywistej nierówności:
\(\displaystyle{ (*) \quad \frac{n^{n}}{(n^{2} + n + 3)^{\frac{1}{2}(n + 1)}} < \frac{n^{n}}{(n^{2})^{\frac{1}{2}(n + 1)}} = \frac{n^{n}}{n^{n + 1}} = \frac{1}{n}}\)
i teraz możemy poddać szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}\tan \frac{1}{\sqrt{n}}}\)
rozlicznym narzędziom , ale na nasz skromny użytek może to być wspomniane wyżej kryterium ilorazowe w postaci granicznej ze zbieżnym szeregiem: \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{n}}}\), czyli liczymy granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\frac{\frac{1}{n}\cdot \tan\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{n\sqrt{n}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\tan \frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}} = 1}\)
wyszła nam granica skończona dodatnia, więc szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}\tan \frac{1}{\sqrt{n}}}\)
jest zbieżny, a na mocy nierówności \(\displaystyle{ (*)}\) oraz kryterium porównawczego nasz szereg jest zbieżny.

[Kostek]

Zakladam ze znasz kryterium ilorazowe. Wszystko sprowadza sie do policzenia granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^{n}}{(n^{2}+n+3)^{\frac{n+1}{2}}}\tg\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^{2}}{n^{2}+n+3}\right)^{\frac{n+1}{2}} \frac{\tg\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{n^{2}}{n+3}}}\right)^{\frac{n^2}{n+3}\frac{n+3}{n^2}\frac{n+1}{2}} \frac{\tg\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}}=\frac{1}{e^{\frac12}}\cdot 1}\)

Troche kosmiczne te rachunki