mam problem z całkami jakby ktoś chciał mi pomóc będę wdzięczna
np mam zadania
luk paraboli \(\displaystyle{ y=x^2+1}\) 1 ≤x≤2 obrócono wokół osi OY. oblicz objetość powstałej bryły
łuk paraboli \(\displaystyle{ y=x^2}\) 1≤x≤2 obrócono wokół osi OY. oblicz objetość powstałej bryły.
i jeszcze jedno mam
łuk \(\displaystyle{ y=\frac{2}{x}}\) 1≤x≤2 obrócono wokół osi OY. oblicz objetość powstałej bryły.
z góry dziekuję:):)
Obliczanie objętości
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 27 sie 2007, o 11:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: wieluń
Obliczanie objętości
Ostatnio zmieniony 27 sie 2007, o 12:51 przez praptaszynka, łącznie zmieniany 1 raz.
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Obliczanie objętości
Ogólnie objętość bryły obrotowej powstałej w wyniku obrotu funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) wokół osi \(\displaystyle{ x}\) to:
\(\displaystyle{ V = \pi \int f^2(x) \ dx}\)
Wobec tego:
1. Przekształcamy, bo obracamy wokół osi OY:
\(\displaystyle{ y=x^2+1, \ x_1=1 \ x_2=2 x=\sqrt{y-1}, \ y_1=2 \ y_2=5}\)
i całkujemy:
\(\displaystyle{ \int\limits_{2}^{5} \sqrt{y-1} \ dy = \left[ \frac{2}{3} (y-1)^{\frac{3}{2}} \right]_{2}^{5} = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}}\)
2. Podobnie jak to wyżej, tylko prostsze
3. Też podobnie, nie pomyl się przy przekształceniu.
\(\displaystyle{ V = \pi \int f^2(x) \ dx}\)
Wobec tego:
1. Przekształcamy, bo obracamy wokół osi OY:
\(\displaystyle{ y=x^2+1, \ x_1=1 \ x_2=2 x=\sqrt{y-1}, \ y_1=2 \ y_2=5}\)
i całkujemy:
\(\displaystyle{ \int\limits_{2}^{5} \sqrt{y-1} \ dy = \left[ \frac{2}{3} (y-1)^{\frac{3}{2}} \right]_{2}^{5} = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}}\)
2. Podobnie jak to wyżej, tylko prostsze
3. Też podobnie, nie pomyl się przy przekształceniu.
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 27 sie 2007, o 11:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: wieluń
Obliczanie objętości
jejku dla mnie całki to czarna magia mozesz mi wytłumaczyć skąd wzieło się
\(\displaystyle{ \sqrt{y-1}}\) dy???
[ Dodano: 27 Sierpnia 2007, 14:04 ]
i jeszcze jedno dlaczego mamy licznik 2/3
\(\displaystyle{ \sqrt{y-1}}\) dy???
[ Dodano: 27 Sierpnia 2007, 14:04 ]
i jeszcze jedno dlaczego mamy licznik 2/3
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Obliczanie objętości
\(\displaystyle{ y=x^2+1 \Rightarrow x=\sqrt{y-1}}\) - możemy przekształcić, bo wiemy, że x > 0 i y > 1.mi wytłumaczyć skąd wzieło się
\(\displaystyle{ \sqrt{y-1} dy}\) ???
To jest obliczenie całki. Dla przypomnienia (mam nadzieję):i jeszcze jedno dlaczego mamy licznik 2/3
\(\displaystyle{ \int x^t \ dx = \frac{1}{t+1} x^{t+1}}\)