Losowanie ciągu

[robin5hood]

zad
Rozpatrujemy zbiór ciągów \(\displaystyle{ n}\)-wyrazowych o wyrazach \(\displaystyle{ -1,0,1}\). Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrany ciąg ma co najwyżej jeden wyraz róny 0 i suma jego wyrazów jest równa 0.

[jovante]

\(\displaystyle{ |A|=\frac{n!}{([\frac{n}{2}]!)^2} \\ \\|\Omega|=3^n \\ \\ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}}\)

[robin5hood]

a mozesz objasnić skad to się wzięło \(\displaystyle{ \frac{n!}{([\frac{n}{2}]!)^2}}\)

[max]

Zauważ, że liczebności jedynek i minus jedynek w naszym ciągu są sobie równe i wynoszą \(\displaystyle{ \left[\frac{n}{2}\right]}\), dalej wystarczy skorzystać z wzoru na liczbę permutacji z powtórzeniami.

[Grzegorz t]

ciąg ma co najwyżej jeden wyraz równy \(\displaystyle{ 0}\) to znaczy, że żaden wyraz tego ciągu nie jest równy zeru lub tylko jeden wyraz tego ciągu jest równy \(\displaystyle{ 0}\). policzyliście poprawnie tylko pierwsze takie zdarzenie.
przyjmijmy oznaczenia:
\(\displaystyle{ A}\)- zdarzenie, że ciąg nie ma wyrazu zerowego,
\(\displaystyle{ B}\)- zdarzenie, że ciąg ma dokładnie jeden wyraz równy zero,
\(\displaystyle{ C}\)- zdarzenie, że suma wyrazów ciągu wynosi zero,
\(\displaystyle{ A\cup B}\) zdarzenie, że ciąg ma co najwyżej jeden wyraz równy zero
Mamy policzyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(A\cup B)\cap C=P(A\cap C)+P(B\cap C)-P(A\cap B\cap C)}\)
Szukane prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P=\frac{C^{\frac{1}{2}n}_n+C^1_n\cdot C^{\frac{n-1}{2}}_{n-1}}{3^n}.}\)
Gdy \(\displaystyle{ n=2k, k\in{1, 2, 3,...}}\) to obowiązuje pierwszy człon zdarzenia z licznika (ten, który policzyliście), a gdy \(\displaystyle{ n=2k+1}\) to obowiązuje drugi człon wyrażenia z licznika.

[jovante]

Wzór \(\displaystyle{ \frac{n!}{([\frac{n}{2}]!)^2}}\) jest jak najbardziej poprawny. \(\displaystyle{ \left[\frac{n}{2}\right]}\) to część całkowita z \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\).

[Grzegorz t]

masz rację, nasze wyniki są identyczne, ale ty to krócej napisałeś.