Zbadaj zbieżność szeregu funkcyjnego.

[zuza2006]

Czy szereg funkcyjny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{x^2+n}}\) jest zbieżny jednostajnie na zbiorze R? Tylko w tym przypadku prosiłabym tak krok po kroczku gdyż zbieżności jednostajnej za bardzo nie rozumiem. Z góry dziękuję.

[robin5hood]

obliczamy

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{(-1)^n}{x^2+n}=0}\)
Teraz badamy jednostajna zbieznosc
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left( \sup \left| \frac{(-1)^n}{x^2+n}-0 \right|, x \in \RR \right)}\)
Teraz szukamy maksimum funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2+n}}\)
obliczamy pochodną \(\displaystyle{ \frac{-2x}{ \left( x^2+n \right)^2 }}\) i ona sie zeruje gdy \(\displaystyle{ x=0}\), wiec
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left( \sup \left| \frac{(-1)^n}{x^2+n}-0 \right|, x \in \RR \right) = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} = 0}\)
zatem szetreg jest jedostajnie zbiezny