całka potrójna z parametrem

[eloar]

Całeczka wygląda tak:

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2a}dx\int\limits_{-\sqrt{2ax-x^{2}}}^{0}dy\int\limits_{0}^{a}z\sqrt{x^{2}+y^{2}}dz}\)

Jak zawsze proszę o objaśnienie krok po kroku. A przynajmniej o zapisanie paru kroków po drodze do uzyskania wyniku.

Z góry dzięki.

[alia]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{a}z\sqrt{x^2+y^2}\,dz=\sqrt{x^2+y^2}\cdot \frac{z^2}{2}|_{0}^{a}=\frac{a^2}{2}\sqrt{x^2+y^2}}\)
zostaje więc do obliczenia
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{2}\int_{0}^{2a}{dx}{\int_{-\sqrt{2ax-x^2}}^{0}{\sqrt{x^2+y^2}\,dy}}}\)
Patrząc na granice całkowania i funkcję jaką mamy przecałkować sugeruję współrzędne biegunowe. Obszar całkowania - dolne półkole koła o środku (a,0) i promieniu a.