dla jakiego prametru spełniony jest warunek

[robin5hood]

zad
Dla jakich dodatnich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) w zbiorze wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{a^{x+1}-2a^2-2a}{a^{x-1}-2}}\) zawiera się zbiór liczb naturalnych parzystych dodatnich?

[Lady Tilly]

Niech n oznacza dowolną liczbę naturalną wtedy
\(\displaystyle{ 2na^{x-1}-4n=a^{x+1}-2a^{2}-2a}\)
\(\displaystyle{ 2n\frac{a^{x}}{a}-a{\cdot}a^{x}=-2a(a+1)+4n}\)
\(\displaystyle{ a^{x}(\frac{2n}{a}-a)=-2a(a+1)+4n}\)
\(\displaystyle{ a^{x}=\frac{-2a^{2}(a+1)+4n}{2n-a^{2}}}\)
i jeszcze wydaje mi się, ze co do asymptoty poziomej musi być określenie, że musi przechodzić przez punkt y

[robin5hood]

i co dalej??? jak wyliczyc ten paramert?

[Lady Tilly]

Zobacz jak wygląda wykres dla a=0,5

AU

8b50ea212e169187.jpg (9.52 KiB) Przejrzano 130 razy

asymptota pozioma przechodzi przez y

[robin5hood]

A mozesz to wyliczyc bo jakos tego nie widze

[Grzegorz t]

Lady Tilly pomyliła się przy przekształcaniu równania (każy może się pomylić, ja też).
po przekształceniu mamy \(\displaystyle{ a^x=\frac{2a^3+2a^2-4an}{a^2-2n}}\).
Oczywiście założenia do zadania, że a większe od zera i różne od jedynki.
Zatem wystarczy rozwiązać prostą nierówność, że\(\displaystyle{ \frac{2a^3+2a^2-4an}{a^2-2n}>0}\), co będzie spełnione, gdy licznik i mianownik będą większe od zera lub mniejsze od zera i ostatecznie mamy rozwiązanie \(\displaystyle{ a\in(0;\frac{-1+\sqrt{8n+1}}{2})\cup (\sqrt{2n};+\infty).}\) pamiętamy, że \(\displaystyle{ n\in{1,2,3,...}}\)

[robin5hood]

a skad to n, w zadaniu nie ma nic mowy o n?

[Grzegorz t]

Właśnie w zależności od liczb naturalnych n ta funkcja może mieć różne wartości a, a zatem i różne rozwiązania

[robin5hood]

A w odpowiedziach jest taki przedział \(\displaystyle{ a\in(0;1)\cup (\sqrt{2};\frac{-1+\sqrt{17}}{2})).}\)
czemu?

[Grzegorz t]

może pomyliłem się w obliczeniach, nikt nie jest nieomylny, należy wtedy przyjąc określone wartości \(\displaystyle{ n}\), może nie rozpatrzyłem jeszcze jakiegoś przypadku

[robin5hood]

A mozesz to wykonac bo ja nie wiem jak to zrobic?