dziedzina szeregu funkcyjnego

[robin5hood]

zad
Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx}{n^{2}x+2}}\)

[bullay]

Dziedzina funkcji jest \(\displaystyle{ R}\) bez tych wartosci dla ktorych \(\displaystyle{ n^2x+2=0}\)

[max]

Do tego należałoby jeszcze sprawdzić kiedy suma istnieje...
(np dla \(\displaystyle{ x > 0}\) kryterium ilorazowe z harmonicznym rozbieżnym, a dla \(\displaystyle{ x < 0}\) kryterium Leibniza)

[robin5hood]

A moze ktos to zrobic do konca?

[max]

Hmm, szczerze powiedziawszy to nie wiem skąd mi się ten Leibniz tam wyżej wziął, pewnie z wrodzonej bezmyślności, ale po kolei...

Aby każdy wyraz szeregu liczbowego miał sens liczbowy musi być dla każdego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ n^{2}x + 2 \neq 0\\
x \neq -\frac{2}{n^{2}}}\)

Dalej badamy zbieżność:
Dla \(\displaystyle{ x > 0}\) a także dla \(\displaystyle{ x < 0}\) i \(\displaystyle{ n > \sqrt{\frac{2}{|x|}}}\) jest: \(\displaystyle{ \frac{nx}{n^{2}x + 2} > 0}\) oraz:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\frac{\frac{1}{n}}{\frac{nx}{n^{2}x + 2}} = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{2}{n^{2}x}\right) = 1}\)
granica jest skończona i dodatnia, a szereg o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) rozbieżny, więc w myśl kryterium ilorazowego zbieżności szeregów nasz szereg jest dla \(\displaystyle{ x 0}\) rozbieżny. W związku z tym, ponieważ dla \(\displaystyle{ x = 0}\) szereg jest oczywiście zbieżny, to dziedziną funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest jednoelementowy zbiór \(\displaystyle{ \{0\}}\).

Przepraszam za zamieszanie.