Wartości i wektory własne macierzy odwzorowania liniowego

[Bormac]

Dana jest macierz A = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}3&4\\5&2\end{array}\right]}\) odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ L : V_{2}\mapsto V_{2}}\). Wyznaczyć wartości własne i wektory własne tego odwzorowania.

[Kasiula@]

Mając macierz A,wartości własne wyznacza się z następującego równania \(\displaystyle{ det(A-\lambda I )=0}\),czyli w Twoim przypadku:
\(\displaystyle{ (3-\lambda)(2-\lambda)-20=0}\),zatem wartości własne danej macierzy równają się \(\displaystyle{ \lambda_{1}=-2,\lambda_{2}=7}\)

Wektory własne wyznacza się ze wzoru:
\(\displaystyle{ (A-\lambda_{i} I) \vec{v_{i}}=\vec{0}}\), u Ciebie i=1,2
Zatem wektor odpowiadający \(\displaystyle{ \lambda_{1}}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}=(-\frac{4}{5},1)}\),a wektor odpowiadający \(\displaystyle{ \lambda_{2}}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ \vec{v_{2}}=(1,1)}\)

[Bormac]

Niestety nadal nie do końca rozumiem jak wyliczyć wektory własne. Gdyby ktoś mógł mi to łopatologicznie wytłumaczyć byłbym zobowiązany.

[Kasiula@]

Każdej wartości własnej odpowiada jakiś wektor własny (ilość wektorów zależy od krotności wartości własnej). Zrobimy to dla \(\displaystyle{ \lambda_{1}=-2}\).
Zatem,szukamy wektora \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}=(x,y)}\).
Wyzaczamy go ze wzoru:
\(\displaystyle{ (A-\lambda_{1} I)\vec{v_{1}}=\vec{0}}\) ,czyli:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}3-(-2)&4\\5&2-(-2)\end{array}\right] ft[\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}5&4\\5&4\end{array}\right]\cdot ft[\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5x+4y\\5x+4y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0\\0\end{array}\right]}\)
Otrzymaliśmy w ten sposób równanie:
\(\displaystyle{ 5x+4y=0 x=-\frac{4}{5}y}\), zatem \(\displaystyle{ W=(-\frac{4}{5}y,y)=y(-\frac{4}{5},1)}\)(jest to zbiór wekorów). Weźmy najprostrzą sytuacje y=1,wówczas przykładowy wektor własny odpowiadajacy \(\displaystyle{ \lambda_{1}=-2}\) ma współrzędny \(\displaystyle{ (-\frac{4}{5},1)}\)

[Bormac]

No i już wszystko jasne.
Dziękuję za pomoc.


Pozdrawiam
Maciek

[Kasiula@]

Proszę bardzo