Ekstremum funkcjonału

[Bormac]

Na jakiej krzywej funkcjonał \(\displaystyle{ I[y(t)] = \int\limits_1^e \frac {x^{3}}{\left( y'\right) ^{2}} dx, y(1) = 1, y(e) = 4}\) może osiągać ekstremum?

[luka52]

Mamy tutaj \(\displaystyle{ F(x,y,y') = \frac{x^3}{y'^2}}\). Obliczamy pochodne:
\(\displaystyle{ F'_y = 0, \quad F'_{y'} = - \frac{x^3}{y'^2}}\)
a następnie
\(\displaystyle{ \frac{d}{dx} \left( - \frac{x^3}{y'^2} \right) = \frac{x^3 (2 x y'' - 3y')}{y'^3}}\)
Możemy zatem zapisać równanie różniczkowe Eulera
\(\displaystyle{ - \frac{x^3 (2 x y'' - 3y')}{y'^3} = 0\\
\mbox{zal.} \ y' \neq 0\\
x^3 (2 x y'' - 3y') = 0 \Rightarrow x = 0 \ \ \vee \ \ 2 x y'' = 3y'}\)
Zatem zajmiemy się równaniem \(\displaystyle{ 2 x y'' = 3y'}\)
Podstawiamy p = y' i rozdzielamy zmienne:
\(\displaystyle{ 2x p' = 3p\\
\frac{dp}{p} = \frac{3}{2x}\\
\ln |p| = \frac{3}{2} \ln |x| + C_1\\
p = e^{C_1} x^{3/2}\\
y = \int p \, dx = \frac{2}{5} e^{C_1} x^{5/2} + C_2\\
y(x) = A x^{5/2} + B}\)

Z zadanych warunków wyliczamy stałe:
\(\displaystyle{ y(1) = 1 \iff A + B = 1\\
y(e) = 4 \iff A e^{5/2} + B = 4\\
A = \frac{3}{e^{5/2} - 1}, \quad B = \frac{e^{5/2} - 4}{e^{5/2} - 1}}\)

Ostatecznie:
\(\displaystyle{ y(x) = \frac{3 x^{5/2}}{e^{5/2} - 1} + \frac{e^{5/2} - 4}{e^{5/2} - 1}}\)