Obraz prostej w odwzorowaniu
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 26 sie 2007, o 20:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 12 razy
Obraz prostej w odwzorowaniu
Znaleźć obraz prostej \(\displaystyle{ \Im z = 1}\) w odwzorowaniu \(\displaystyle{ \ f(z) = z^{2}}\). Wykonać obliczenia i rysunki.
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Obraz prostej w odwzorowaniu
Niech \(\displaystyle{ \Im z = 1}\) czyli \(\displaystyle{ z = a + i, \ a \mathbb{R}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ f(z) = z^{2} = a^{2} + 2ai - 1}\)
i krzywą powstałą w wyniku podanego przekształcenia płaszczyzny zespolonej na siebie możemy określić równaniami parametrycznymi:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x = a^{2} - 1\\
y = 2a\end{cases}}\)
stąd:
\(\displaystyle{ x = \frac{y^{2}}{4} - 1}\)
a to już jest równanie paraboli.
Wtedy \(\displaystyle{ f(z) = z^{2} = a^{2} + 2ai - 1}\)
i krzywą powstałą w wyniku podanego przekształcenia płaszczyzny zespolonej na siebie możemy określić równaniami parametrycznymi:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x = a^{2} - 1\\
y = 2a\end{cases}}\)
stąd:
\(\displaystyle{ x = \frac{y^{2}}{4} - 1}\)
a to już jest równanie paraboli.