3 pochodne

[delfaro]

Witam! I prosze o pomoc w obliczeniu pochodnej:

1. \(\displaystyle{ y= \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}\)
2. \(\displaystyle{ y=x^{lnx}}\)
3. \(\displaystyle{ y=x^{sinx}}\)

ad2
Rozumowałem w ten sposób:
\(\displaystyle{ y=x^{lnx}; \quad y=x^{u}; \quad u=lnx; \quad u'=\frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ y=ux^{u-1} \frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{\ln xx^{lnx-1}}{x}}\)
...to chyba nie jest dobry wynik hm... Nie wiem jak sie za to zabrać. Da się cos z tym zrobic?:) Pozdrawiam!

Poprawiłem zapis i temat.
Tak na przyszłość to między znaczniki LaTeX-a umieszczaj całe wyrażenia.
luka52

[Lady Tilly]

1) \(\displaystyle{ y'=\frac{\sqrt{x^{2}+1}-\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x^{2}+1}}\)

[Calasilyar]

Ad.1.
\(\displaystyle{ y'=\frac{(x)'\sqrt{x^{2}+1}-x(\sqrt{x^{2}+1})'}{(\sqrt{x^{2}+1})^{2}}=\frac{\sqrt{x^{2}+1}-x\cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}}{x^{2}+1}=...=\frac{1}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}}}\)

[lukasz1804]

1. \(\displaystyle{ y'=\frac{\sqrt{x^2+1}-x\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{1}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}}\)
2.\(\displaystyle{ y=e^{(lnx)^2}}\), więc \(\displaystyle{ y'=\frac{1}{x}ln x^2e^{(ln x)^2}}\)
3. \(\displaystyle{ y=e^{ln xsin x}}\), więc \(\displaystyle{ y'=(\frac{1}{x}sin x+ln xcos x)e^{ln xsin x}}\)

[Calasilyar]

2.
lukasz1804, powinno być chyba:
\(\displaystyle{ y'=\frac{1}{x}\cdot 2lnx e^{ln^{2}x}}\)

[delfaro]

Ok. Dzięki wielkie. Tylko ciągle coś mi nie pasuje z tym Ad2. Ja w odpowiedziach mam \(\displaystyle{ 2lnxx^{lnx-1}}\) i jakoś nie widze w tym wyrażeniu podobieństwa do tego co ja otrzymałem... a może w odp jest błąd

[lukasz1804]

Już poprawiłem błędy. Przepraszam za powstały kłopot i nieporozumienie.

[delfaro]

A możecie mi powiedzieć skąd wzieło sie \(\displaystyle{ e^{(lnx)^{2}}}\). Może trudny ze mnie przypadek ale ja ciągle tego nie widze..

[Kostek]

\(\displaystyle{ e^{lnx}=x}\)

[Calasilyar]

Ja w odpowiedziach mam 2lnxx^{lnx-1} i jakoś nie widze w tym wyrażeniu podobieństwa do tego co ja otrzymałem...

\(\displaystyle{ e^{ln^{2}x}=x^{lnx}
y'=\frac{1}{x}\cdot 2lnx\cdot e^{ln^{2}x}=x^{-1}\cdot 2lnx\cdot x^{lnx}=2lnx\cdot x^{lnx-1}}\)
czyli dobrze