Wygrana na przewagę w tenisie stołowym.

[Emiel Regis]

Adam i Bolek grają w tenisa stołowego i kończą seta grą "na przewagę" (czyli trzeba mieć o dwa punkty wiecej od przeciwnika) przy stanie 20:20. Wiadomo, że Adam wygrywa dwie piłki na trzy (ogólniej prawdopodobieństwo wygrania piłki - p). Jaką ma szansę wygranej?

[Gregorias]

Zauważmy, że w dwóch kolejnych rzutach są tylko dwie możliwości:
-remis, czyli powrót do punktu wyjścia - szansa 4/9
-wygrana któregoś z graczy - szansa 5/9
Jedyna możliwość w takim przypadku to przynajmniej jeden ciąg A*A po n remisach. Szansa, że to się stanie to 2/3 * 2/3 = 4/9 . Czyli Adam ma szansę zwycięstwa równą \(\displaystyle{ \frac{4}{9}}\)

Edit: Sorry trochę się pośpieszyłem. Szansę na wygraną Adam ma równą sumie ciągu geometrycznego o wyrazie początkowym \(\displaystyle{ \frac{4}{9}}\) i współczynniku q \(\displaystyle{ \frac{4}{9}}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{4}{5}}\)

[JHN]

Jaką ma szansę wygranej?

Wygodniej mi będzie określić prawdopodobieństwo:
Niech \(\displaystyle{ A_i}\) oznacza Adam wygrał i-tą piłkę (\(\displaystyle{ P(A_i)=p={2\over 3}}\)). wtedy (z niezależności i rozłączności) mamy
\(\displaystyle{ P(A)=P(A_{41})\cdot P(A_{42})+P(A'_{41})\cdot P(A_{42})\cdot P(A_{43})+... \\
+P(A_{41})\cdot P(A'_{42})\cdot P(A_{43})\cdot P(A_{44})+...}\)
czyli nieskończone szeregi. Na szczęście geometryczne i zbieżne. Wystarczy dodać

Pozdrawiam

[Emiel Regis]

To niestety nie jest zadanie takie łatwe.
Jeśli to komuś coś ułatwi to wynik jest 4/5. Czyli okazuje się że odwrotnie niż napisaleś szanse lepszego gracza wzrastają w grze na przewagi. Co jest raczej zgodne z intuicją... Kwestia jeszcze odporności psychicznej no ale tego nie bierzemy pod uwagę.

[Gregorias]

No akurat zmieniłem na poprawny i od razy 2 odpowiedzi hehe...

Edit: Mam nadzieję, że nie potrzebujesz bardziej szczegółowych wyjaśnień?

[Emiel Regis]

Gregorias.
Faktycznie jak sie zsumuje ten szereg to wychodzi dobry wynik. Zresztą to już logiczne, bo jak rozumiem tak to wymyśliłeś:
AA + (AB+BA)AA + (AB+BA)(AB+BA)AA + ...
i wtedy mamy szereg:
\(\displaystyle{ \frac{4}{9}+\frac{4}{9} \frac{4}{9} + (\frac{4}{9})^2 \frac{4}{9}+...}\)

JHN.

\(\displaystyle{ P(A)=P(A_{41})\cdot P(A_{42})+P(A'_{41})\cdot P(A_{42})\cdot P(A_{43})+... \\
+P(A_{41})\cdot P(A'_{42})\cdot P(A_{43})\cdot P(A_{44})+...}\)

Ten drugi iloczyn nie daje wygranej Adamowi... Chyba że coś źle rozumiem.



Dziekuje za pomoc.

[JHN]

Ten drugi iloczyn nie daje wygranej Adamowi...

OK - moje gapowe. Zabrakło jednego czynnika. Przepraszam
Pozdrawiam