Wygrana na przewagę w tenisie stołowym.

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Wygrana na przewagę w tenisie stołowym.

Post autor: Emiel Regis » 24 sie 2007, o 19:03

Adam i Bolek grają w tenisa stołowego i kończą seta grą "na przewagę" (czyli trzeba mieć o dwa punkty wiecej od przeciwnika) przy stanie 20:20. Wiadomo, że Adam wygrywa dwie piłki na trzy (ogólniej prawdopodobieństwo wygrania piłki - p). Jaką ma szansę wygranej?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Gregorias
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 22 sie 2007, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kędzierzyn-Koźle
Podziękował: 1 raz

Wygrana na przewagę w tenisie stołowym.

Post autor: Gregorias » 26 sie 2007, o 14:35

Zauważmy, że w dwóch kolejnych rzutach są tylko dwie możliwości:
-remis, czyli powrót do punktu wyjścia - szansa 4/9
-wygrana któregoś z graczy - szansa 5/9
Jedyna możliwość w takim przypadku to przynajmniej jeden ciąg A*A po n remisach. Szansa, że to się stanie to 2/3 * 2/3 = 4/9 . Czyli Adam ma szansę zwycięstwa równą \(\displaystyle{ \frac{4}{9}}\)

Edit: Sorry trochę się pośpieszyłem. Szansę na wygraną Adam ma równą sumie ciągu geometrycznego o wyrazie początkowym \(\displaystyle{ \frac{4}{9}}\) i współczynniku q \(\displaystyle{ \frac{4}{9}}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{4}{5}}\)
Ostatnio zmieniony 26 sie 2007, o 14:56 przez Gregorias, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 564
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 171 razy

Wygrana na przewagę w tenisie stołowym.

Post autor: JHN » 26 sie 2007, o 14:55

Drizzt pisze: Jaką ma szansę wygranej?
Wygodniej mi będzie określić prawdopodobieństwo:
Niech \(\displaystyle{ A_i}\) oznacza Adam wygrał i-tą piłkę (\(\displaystyle{ P(A_i)=p={2\over 3}}\)). wtedy (z niezależności i rozłączności) mamy
\(\displaystyle{ P(A)=P(A_{41})\cdot P(A_{42})+P(A'_{41})\cdot P(A_{42})\cdot P(A_{43})+... \\
+P(A_{41})\cdot P(A'_{42})\cdot P(A_{43})\cdot P(A_{44})+...}\)

czyli nieskończone szeregi. Na szczęście geometryczne i zbieżne. Wystarczy dodać

Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 26 sie 2007, o 14:56 przez JHN, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Wygrana na przewagę w tenisie stołowym.

Post autor: Emiel Regis » 26 sie 2007, o 14:55

To niestety nie jest zadanie takie łatwe.
Jeśli to komuś coś ułatwi to wynik jest 4/5. Czyli okazuje się że odwrotnie niż napisaleś szanse lepszego gracza wzrastają w grze na przewagi. Co jest raczej zgodne z intuicją... Kwestia jeszcze odporności psychicznej no ale tego nie bierzemy pod uwagę.

Gregorias
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 22 sie 2007, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kędzierzyn-Koźle
Podziękował: 1 raz

Wygrana na przewagę w tenisie stołowym.

Post autor: Gregorias » 26 sie 2007, o 14:58

No akurat zmieniłem na poprawny i od razy 2 odpowiedzi hehe...

Edit: Mam nadzieję, że nie potrzebujesz bardziej szczegółowych wyjaśnień?

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Wygrana na przewagę w tenisie stołowym.

Post autor: Emiel Regis » 26 sie 2007, o 15:33

Gregorias.
Faktycznie jak sie zsumuje ten szereg to wychodzi dobry wynik. Zresztą to już logiczne, bo jak rozumiem tak to wymyśliłeś:
AA + (AB+BA)AA + (AB+BA)(AB+BA)AA + ...
i wtedy mamy szereg:
\(\displaystyle{ \frac{4}{9}+\frac{4}{9} \frac{4}{9} + (\frac{4}{9})^2 \frac{4}{9}+...}\)

JHN.
JHN pisze:\(\displaystyle{ P(A)=P(A_{41})\cdot P(A_{42})+P(A'_{41})\cdot P(A_{42})\cdot P(A_{43})+... \\
+P(A_{41})\cdot P(A'_{42})\cdot P(A_{43})\cdot P(A_{44})+...}\)
Ten drugi iloczyn nie daje wygranej Adamowi... Chyba że coś źle rozumiem.



Dziekuje za pomoc.

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 564
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 171 razy

Wygrana na przewagę w tenisie stołowym.

Post autor: JHN » 26 sie 2007, o 16:12

Drizzt pisze:Ten drugi iloczyn nie daje wygranej Adamowi...
OK - moje gapowe. Zabrakło jednego czynnika. Przepraszam
Pozdrawiam

ODPOWIEDZ