wykazać malejąca fukncję w zbiorze
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 10 sie 2007, o 11:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 8 razy
wykazać malejąca fukncję w zbiorze
Wykaż, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=|x+2|}\) jest malejąca w zbiorze \(\displaystyle{ (-\infty;-2>}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
wykazać malejąca fukncję w zbiorze
Weźmy dowolne \(\displaystyle{ x_1,x_2\in(-\infty,-2>, x_1f(x_2)}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ |x_1+2|^2-|x_2+2|^2=(|x_1+2|-|x_2+2|)(|x_1+2|+|x_2+2|)}\) i znak tego wyrażenia zależy tylko od pierwszego czynnika (drugi czynnik jest zawsze dodatni).
Mamy przy tym \(\displaystyle{ |x_1+2|^2-|x_2+2|^2=x_1^2+4x_1+4-x_2^2-4x_2-4=(x_1-x_2)(x_1+x_2)+4(x_1-x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2+4)>0}\), gdyż \(\displaystyle{ x_1-x_2}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ |x_1+2|^2-|x_2+2|^2=(|x_1+2|-|x_2+2|)(|x_1+2|+|x_2+2|)}\) i znak tego wyrażenia zależy tylko od pierwszego czynnika (drugi czynnik jest zawsze dodatni).
Mamy przy tym \(\displaystyle{ |x_1+2|^2-|x_2+2|^2=x_1^2+4x_1+4-x_2^2-4x_2-4=(x_1-x_2)(x_1+x_2)+4(x_1-x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2+4)>0}\), gdyż \(\displaystyle{ x_1-x_2}\)