2 zadania z teorii liczb

Marzec91 · Post autor: **Marzec91** » 26 sie 2007, o 02:21

Również z olimpiad czeskich.
1. Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ 17^{19}+19^{17}}\) jest podzielna przez liczbę \(\displaystyle{ 17+19}\).
2.Znaleźć wszystkie liczby całkowite x,y, które spełniają równanie
\(\displaystyle{ (3x+y)(x+y)=p}\) gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 26 sie 2007, o 02:55

x+y=1 i 3x+y =p lub
x+y=-1 i 3x+y=-p
etc

Marzec91 · Post autor: **Marzec91** » 26 sie 2007, o 03:46

Dlaczego tak?

Tristan · Post autor: **Tristan** » 26 sie 2007, o 03:52

Ad 1:
\(\displaystyle{ 19 \equiv -17 ( \mod 36) \\ 19^{17} \equiv (-17)^{17} = -17^{17} ( \mod 36) \\ 17^{19} + 19^{17} \equiv 17^{19} - 17^{17} =17^{17} ( 17^2 - 1)= 17^{17} 36 8 \equiv 0 ( \mod 36)}\)

bullay · Post autor: **bullay** » 26 sie 2007, o 10:05

co do drugiego. Jest tak, poniewaz liczba pierwsza dzieli sie tylko przez 1 i sama siebie, wiec moze byc przedstawiona jako iloczyc 1 i p lub -1 i -p.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 26 sie 2007, o 14:41

bullay napisal:

co do drugiego. Jest tak, poniewaz liczba pierwsza dzieli sie tylko przez 1 i sama siebie, wiec moze byc przedstawiona jako iloczyc 1 i p lub -1 i -p.

I tak np gdy x+y=1 , 3x+y=p, otrzymasz ze
\(\displaystyle{ x=\frac{p-1}{2} \ \ , y=\frac{3-p}{2}}\)
p>2 l. pierwsza etc,

Marzec91 · Post autor: **Marzec91** » 26 sie 2007, o 17:12

Tak tak, już do tego doszedłem. Czyli są cztery rozwiązania, mam rozumieć?