pochodna reguła de l'Hospitala

[kamat]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \ 0} \frac{{\ ln (cosx)}}{{x}}}\)

mi wychodzi -1 a w odpowiedziach jest 0 wiec wole upewnic sie

[Emiel Regis]

No i dobrze jest w odpowiedziach; )
Pochodna mianownika: \(\displaystyle{ 1}\)
Pochodna licznika: \(\displaystyle{ \frac{-sinx}{cosx}}\)

[max]

Ewentualnie bez Hospitala:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\ln \cos x}{x} =\lim_{x\to 0} ft(\frac{\ln \cos x}{\cos x - 1}\cdot \frac{\cos x - 1}{x}\right) =\\
= \lim_{x\to 0}\left(\frac{\ln (1 + (\cos x - 1))}{\cos x - 1}\cdot \frac{-2\sin^{2}\frac{x}{2}}{2\cdot\left(\frac{x}{2}\right)^{2}}\cdot \frac{x}{2}\right) = 1\cdot (-1)\cdot 0 = 0}\)

[Kostek]

Mozna i tak:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{cosx-1}{x}ln(1+\frac{1}{\frac{1}{cosx-1}})^{\frac{1}{cosx-1}}=0*1=0}\)

[max]

To poniekąd jest rozwinięcie tego co napisałem powyżej...