Trzy zadania z olimpiad

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Marzec91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 24 sie 2007, o 23:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dziwnów

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Marzec91 »

1.Znaleźć wszystkie liczby naturalne n, dla których wartość wyrażenia

\(\displaystyle{ n^{4}-23n^{2}+42}\) jest podzielna przez 83.

2.Udowodnić, że jeżeli n jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczba

\(\displaystyle{ 5^{2n+1}\cdot2^{n+2}+3^{n+2}\cdot2^{2n+1}}\) jest podzielna przez 19.

3.Udowodnić, że żadna liczba całkowita x nie spełnia równania

\(\displaystyle{ x^{2}=12n+5}\) gdzie n jest liczbą naturalną.
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Piotr Rutkowski »

Co do drugiego, było przed chwilą
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=40428
Czy to na pewno jest z olimpiady???
3)Zauważ, że:
\(\displaystyle{ 12n+5 \equiv 0+5 \equiv 5 \equiv 2 (mod3)}\), co jest niemożliwe, bo dla dowonego \(\displaystyle{ a N}\)
\(\displaystyle{ a^{2} \equiv 1(mod3)}\) lub
\(\displaystyle{ a^{2} \equiv 0 (mod3)}\)
Ostatnio zmieniony 25 sie 2007, o 21:46 przez Piotr Rutkowski, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
DEXiu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1174
Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jaworzno
Pomógł: 69 razy

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: DEXiu »

Co do trzeciego - wystarczy sprawdzić jakie reszty z dzielenia przez 12 dają kwadraty kolejnych liczb (bez kongruencji najłatwiej zbadać po prostu podzielność przez 12 kwadratów liczb postaci \(\displaystyle{ 12k+i}\), gdzie \(\displaystyle{ i=0,1,2,3,...,11}\))
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: mol_ksiazkowy »

Marzec91 napisał"
1.Znaleźć wszystkie liczby naturalne n, dla których wartość wyrażenia

jest podzielna przez 83.
wsk \(\displaystyle{ n^4-23n^2+42=(n^2-21)(n^2-2)}\)
p=83 l ,pierwsza
Marzec91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 24 sie 2007, o 23:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dziwnów

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Marzec91 »

Owszem, z czeskich olimpiad
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Tristan »

Ad 3:
Załóżmy, że nie ma się żadnego pomysłu
Ale ma się w głowie wzoru skróconego mnożenia :]
Mamy wtedy:
\(\displaystyle{ x^2 -1=12n+4 \\ (x-1)(x+1)=4(3n+1)}\)
Wynika z tego, że \(\displaystyle{ x-1, x+1}\) są liczbami parzystymi. Niech \(\displaystyle{ x-1=2k, x+1=2(k+1)}\). Wtedy \(\displaystyle{ k(k+1)=3n+1}\). Jeśli \(\displaystyle{ k=3l}\) wartość po lewej stronie równania jest podzielna przez 3. Jeśli \(\displaystyle{ k=3l+2}\), to \(\displaystyle{ k+1=3(k+1)}\) i dostajemy to samo, co w poprzednim przypadku. Zostaje jedynie możliwość, że \(\displaystyle{ k=3l+1}\). Mamy wtedy \(\displaystyle{ (3l+1)(3l+2)=9l^2 +9l+2=3(3l^2+3l)+2}\), czyli po lewej stronie dostajemy liczbę która daje resztę 2 z dzielenia przez 3, a po prawej jest liczba która daje resztę 1 z dzielenia przez 3. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że nie istnieje takie l, czyli nie istnieje takie k, czyli nie istnieje taki x, który spełniałby to równanie.
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Piotr Rutkowski »

Co do pierwszego:
Pomnóżmy sobie naszą liczbę przez dwa. Jako, że 2 i 83 są względnie pierwsze to dowód przeprowadzony dla naszej nowej liczby będzie równoważny żądanemu dowodowi.
Mamy sprawdzić, dla jakich n zachodzi \(\displaystyle{ 2n^{4}-46n^{2}+84 \equiv 0 (mod83)}\)
Zauważmy, że;\(\displaystyle{ 2n^{4}-46n^{2}+84 \equiv n^{2}*(2n^{2}-46)+1 (mod83)}\)
A więc wystarczy sprawdzić dla jakich n zachodzi \(\displaystyle{ n^{2}*(2n^{2}-46) \equiv -1 (mod83)}\)
Z naszego iloczynu wynika, że \(\displaystyle{ n^{2} \equiv 1 (mod83)}\) i \(\displaystyle{ 2n^{2}-46 \equiv -1 (mod83)}\), lub na odwrót. Łatwo zauważyć, że w obu przypadkach nasze warunki się wykluczają, co oznacza, że nasze wyrażenie nie jest podzielne przez 83 dla żadnego naturalnego n, co kończy zadanie

EDIT:A tak na marginesie, to ja chciałbym w takim razie pisać olimpiadę w Czechach
Marzec91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 24 sie 2007, o 23:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dziwnów

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Marzec91 »

A można w ten sposób?

\(\displaystyle{ x^{2}}\) jest nieparzyste, czyli postaci 2m+1

Wobec tego:

\(\displaystyle{ (2m+1)^{2}=12n+5}\)
po przekształceniach
\(\displaystyle{ m(m+1)=3n+1}\)
I tu utknęłem.

Co do 3. mol_ksiazkowy dał wskazówkę, z której wynika, że zarówno \(\displaystyle{ (n^{2}-21)}\) jak i \(\displaystyle{ (n^{2}-2)}\) muszą być podzielne przez 83, albo jedna z nich przez 83, a druga przez 1. Ale n jest naturalne, czyli odpada podzielność przez 1. Proszę o kolejną wskazówkę...
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Piotr Rutkowski »

Co do twojego sposobu z tym x nieparzystym to zauważ, że m≠n
Marzec91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 24 sie 2007, o 23:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dziwnów

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Marzec91 »

polskimisiek , musze Cie zmartwić, w odpowiedziach jest napisane, że zadanie spełniają 2 liczby:
1. \(\displaystyle{ n_{1}=41+83m}\)
2.\(\displaystyle{ n_{2}=42+83m}\)
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Piotr Rutkowski »

Ok, a czy w odpowiedziach napisali dowód? Ja nie mogę znaleźć błędu w swoim dowodzie, więc podtrzymuję to co napisałem
Ostatnio zmieniony 25 sie 2007, o 22:26 przez Piotr Rutkowski, łącznie zmieniany 1 raz.
Marzec91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 24 sie 2007, o 23:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dziwnów

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Marzec91 »

Wystarczy podstawić - istnieją wobec tego takie liczby.
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Piotr Rutkowski »

OK, zgadzam się, kalkulator jednak nie kłamie , ale i tak chciałbym żeby ktoś sprawdził moje rozwiązanie i powiedział mi gdzie popełniłem błąd w rozumowaniu
Marzec91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 24 sie 2007, o 23:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dziwnów

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Marzec91 »

Sprawdzałem, o bu przypadkach zgadza się.
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Piotr Rutkowski »

Szczerze mówiąc jeśli masz duuużo czasu i cierpliwości to możesz sobie "na chama" sprawdzić wszystkie x postaci \(\displaystyle{ 83k+l}\) dla \(\displaystyle{ l N}\), lub \(\displaystyle{ l=0}\) oraz \(\displaystyle{ l}\)
ODPOWIEDZ