Trzy zadania z olimpiad
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 24 sie 2007, o 23:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Dziwnów
Trzy zadania z olimpiad
1.Znaleźć wszystkie liczby naturalne n, dla których wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ n^{4}-23n^{2}+42}\) jest podzielna przez 83.
2.Udowodnić, że jeżeli n jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczba
\(\displaystyle{ 5^{2n+1}\cdot2^{n+2}+3^{n+2}\cdot2^{2n+1}}\) jest podzielna przez 19.
3.Udowodnić, że żadna liczba całkowita x nie spełnia równania
\(\displaystyle{ x^{2}=12n+5}\) gdzie n jest liczbą naturalną.
\(\displaystyle{ n^{4}-23n^{2}+42}\) jest podzielna przez 83.
2.Udowodnić, że jeżeli n jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczba
\(\displaystyle{ 5^{2n+1}\cdot2^{n+2}+3^{n+2}\cdot2^{2n+1}}\) jest podzielna przez 19.
3.Udowodnić, że żadna liczba całkowita x nie spełnia równania
\(\displaystyle{ x^{2}=12n+5}\) gdzie n jest liczbą naturalną.
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Trzy zadania z olimpiad
Co do drugiego, było przed chwilą
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=40428
Czy to na pewno jest z olimpiady???
3)Zauważ, że:
\(\displaystyle{ 12n+5 \equiv 0+5 \equiv 5 \equiv 2 (mod3)}\), co jest niemożliwe, bo dla dowonego \(\displaystyle{ a N}\)
\(\displaystyle{ a^{2} \equiv 1(mod3)}\) lub
\(\displaystyle{ a^{2} \equiv 0 (mod3)}\)
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=40428
Czy to na pewno jest z olimpiady???
3)Zauważ, że:
\(\displaystyle{ 12n+5 \equiv 0+5 \equiv 5 \equiv 2 (mod3)}\), co jest niemożliwe, bo dla dowonego \(\displaystyle{ a N}\)
\(\displaystyle{ a^{2} \equiv 1(mod3)}\) lub
\(\displaystyle{ a^{2} \equiv 0 (mod3)}\)
Ostatnio zmieniony 25 sie 2007, o 21:46 przez Piotr Rutkowski, łącznie zmieniany 1 raz.
- DEXiu
- Użytkownik
- Posty: 1174
- Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jaworzno
- Pomógł: 69 razy
Trzy zadania z olimpiad
Co do trzeciego - wystarczy sprawdzić jakie reszty z dzielenia przez 12 dają kwadraty kolejnych liczb (bez kongruencji najłatwiej zbadać po prostu podzielność przez 12 kwadratów liczb postaci \(\displaystyle{ 12k+i}\), gdzie \(\displaystyle{ i=0,1,2,3,...,11}\))
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11266
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3143 razy
- Pomógł: 747 razy
Trzy zadania z olimpiad
Marzec91 napisał"
p=83 l ,pierwsza
wsk \(\displaystyle{ n^4-23n^2+42=(n^2-21)(n^2-2)}\)1.Znaleźć wszystkie liczby naturalne n, dla których wartość wyrażenia
jest podzielna przez 83.
p=83 l ,pierwsza
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Trzy zadania z olimpiad
Ad 3:
Załóżmy, że nie ma się żadnego pomysłu
Ale ma się w głowie wzoru skróconego mnożenia :]
Mamy wtedy:
\(\displaystyle{ x^2 -1=12n+4 \\ (x-1)(x+1)=4(3n+1)}\)
Wynika z tego, że \(\displaystyle{ x-1, x+1}\) są liczbami parzystymi. Niech \(\displaystyle{ x-1=2k, x+1=2(k+1)}\). Wtedy \(\displaystyle{ k(k+1)=3n+1}\). Jeśli \(\displaystyle{ k=3l}\) wartość po lewej stronie równania jest podzielna przez 3. Jeśli \(\displaystyle{ k=3l+2}\), to \(\displaystyle{ k+1=3(k+1)}\) i dostajemy to samo, co w poprzednim przypadku. Zostaje jedynie możliwość, że \(\displaystyle{ k=3l+1}\). Mamy wtedy \(\displaystyle{ (3l+1)(3l+2)=9l^2 +9l+2=3(3l^2+3l)+2}\), czyli po lewej stronie dostajemy liczbę która daje resztę 2 z dzielenia przez 3, a po prawej jest liczba która daje resztę 1 z dzielenia przez 3. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że nie istnieje takie l, czyli nie istnieje takie k, czyli nie istnieje taki x, który spełniałby to równanie.
Załóżmy, że nie ma się żadnego pomysłu
Ale ma się w głowie wzoru skróconego mnożenia :]
Mamy wtedy:
\(\displaystyle{ x^2 -1=12n+4 \\ (x-1)(x+1)=4(3n+1)}\)
Wynika z tego, że \(\displaystyle{ x-1, x+1}\) są liczbami parzystymi. Niech \(\displaystyle{ x-1=2k, x+1=2(k+1)}\). Wtedy \(\displaystyle{ k(k+1)=3n+1}\). Jeśli \(\displaystyle{ k=3l}\) wartość po lewej stronie równania jest podzielna przez 3. Jeśli \(\displaystyle{ k=3l+2}\), to \(\displaystyle{ k+1=3(k+1)}\) i dostajemy to samo, co w poprzednim przypadku. Zostaje jedynie możliwość, że \(\displaystyle{ k=3l+1}\). Mamy wtedy \(\displaystyle{ (3l+1)(3l+2)=9l^2 +9l+2=3(3l^2+3l)+2}\), czyli po lewej stronie dostajemy liczbę która daje resztę 2 z dzielenia przez 3, a po prawej jest liczba która daje resztę 1 z dzielenia przez 3. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że nie istnieje takie l, czyli nie istnieje takie k, czyli nie istnieje taki x, który spełniałby to równanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Trzy zadania z olimpiad
Co do pierwszego:
Pomnóżmy sobie naszą liczbę przez dwa. Jako, że 2 i 83 są względnie pierwsze to dowód przeprowadzony dla naszej nowej liczby będzie równoważny żądanemu dowodowi.
Mamy sprawdzić, dla jakich n zachodzi \(\displaystyle{ 2n^{4}-46n^{2}+84 \equiv 0 (mod83)}\)
Zauważmy, że;\(\displaystyle{ 2n^{4}-46n^{2}+84 \equiv n^{2}*(2n^{2}-46)+1 (mod83)}\)
A więc wystarczy sprawdzić dla jakich n zachodzi \(\displaystyle{ n^{2}*(2n^{2}-46) \equiv -1 (mod83)}\)
Z naszego iloczynu wynika, że \(\displaystyle{ n^{2} \equiv 1 (mod83)}\) i \(\displaystyle{ 2n^{2}-46 \equiv -1 (mod83)}\), lub na odwrót. Łatwo zauważyć, że w obu przypadkach nasze warunki się wykluczają, co oznacza, że nasze wyrażenie nie jest podzielne przez 83 dla żadnego naturalnego n, co kończy zadanie
EDIT:A tak na marginesie, to ja chciałbym w takim razie pisać olimpiadę w Czechach
Pomnóżmy sobie naszą liczbę przez dwa. Jako, że 2 i 83 są względnie pierwsze to dowód przeprowadzony dla naszej nowej liczby będzie równoważny żądanemu dowodowi.
Mamy sprawdzić, dla jakich n zachodzi \(\displaystyle{ 2n^{4}-46n^{2}+84 \equiv 0 (mod83)}\)
Zauważmy, że;\(\displaystyle{ 2n^{4}-46n^{2}+84 \equiv n^{2}*(2n^{2}-46)+1 (mod83)}\)
A więc wystarczy sprawdzić dla jakich n zachodzi \(\displaystyle{ n^{2}*(2n^{2}-46) \equiv -1 (mod83)}\)
Z naszego iloczynu wynika, że \(\displaystyle{ n^{2} \equiv 1 (mod83)}\) i \(\displaystyle{ 2n^{2}-46 \equiv -1 (mod83)}\), lub na odwrót. Łatwo zauważyć, że w obu przypadkach nasze warunki się wykluczają, co oznacza, że nasze wyrażenie nie jest podzielne przez 83 dla żadnego naturalnego n, co kończy zadanie
EDIT:A tak na marginesie, to ja chciałbym w takim razie pisać olimpiadę w Czechach
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 24 sie 2007, o 23:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Dziwnów
Trzy zadania z olimpiad
A można w ten sposób?
\(\displaystyle{ x^{2}}\) jest nieparzyste, czyli postaci 2m+1
Wobec tego:
\(\displaystyle{ (2m+1)^{2}=12n+5}\)
po przekształceniach
\(\displaystyle{ m(m+1)=3n+1}\)
I tu utknęłem.
Co do 3. mol_ksiazkowy dał wskazówkę, z której wynika, że zarówno \(\displaystyle{ (n^{2}-21)}\) jak i \(\displaystyle{ (n^{2}-2)}\) muszą być podzielne przez 83, albo jedna z nich przez 83, a druga przez 1. Ale n jest naturalne, czyli odpada podzielność przez 1. Proszę o kolejną wskazówkę...
\(\displaystyle{ x^{2}}\) jest nieparzyste, czyli postaci 2m+1
Wobec tego:
\(\displaystyle{ (2m+1)^{2}=12n+5}\)
po przekształceniach
\(\displaystyle{ m(m+1)=3n+1}\)
I tu utknęłem.
Co do 3. mol_ksiazkowy dał wskazówkę, z której wynika, że zarówno \(\displaystyle{ (n^{2}-21)}\) jak i \(\displaystyle{ (n^{2}-2)}\) muszą być podzielne przez 83, albo jedna z nich przez 83, a druga przez 1. Ale n jest naturalne, czyli odpada podzielność przez 1. Proszę o kolejną wskazówkę...
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 24 sie 2007, o 23:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Dziwnów
Trzy zadania z olimpiad
polskimisiek , musze Cie zmartwić, w odpowiedziach jest napisane, że zadanie spełniają 2 liczby:
1. \(\displaystyle{ n_{1}=41+83m}\)
2.\(\displaystyle{ n_{2}=42+83m}\)
1. \(\displaystyle{ n_{1}=41+83m}\)
2.\(\displaystyle{ n_{2}=42+83m}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Trzy zadania z olimpiad
Ok, a czy w odpowiedziach napisali dowód? Ja nie mogę znaleźć błędu w swoim dowodzie, więc podtrzymuję to co napisałem
Ostatnio zmieniony 25 sie 2007, o 22:26 przez Piotr Rutkowski, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Trzy zadania z olimpiad
OK, zgadzam się, kalkulator jednak nie kłamie , ale i tak chciałbym żeby ktoś sprawdził moje rozwiązanie i powiedział mi gdzie popełniłem błąd w rozumowaniu
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Trzy zadania z olimpiad
Szczerze mówiąc jeśli masz duuużo czasu i cierpliwości to możesz sobie "na chama" sprawdzić wszystkie x postaci \(\displaystyle{ 83k+l}\) dla \(\displaystyle{ l N}\), lub \(\displaystyle{ l=0}\) oraz \(\displaystyle{ l}\)