calka podwojna na obszarze

[positivo]

witam, ciag dalszy "nauki" do kampanii

jak sie zabrac za policzenie takiej calki
\(\displaystyle{ \iint_{A}\frac{x}{x^2+y^2}}\)
gdy A jest obszarem ogranczonym liniami o rownaniach
\(\displaystyle{ x=2}\)
\(\displaystyle{ y=x}\)
\(\displaystyle{ x=2y}\)

ogolnie jest problem z obliczeniem samej calki...
z gory wielkie dzieki.

[luka52]

ogolnie jest problem z obliczeniem samej calki...

Ale chcesz całkować najpierw po dx czy dy

Jeżeli po dx to zauważ, że:
\(\displaystyle{ \frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{1}{2} \frac{2x}{x^2 + y^2}}\)
czyli w liczniku mamy pochodną mianowanika.

W drugim zaś wypadku:
\(\displaystyle{ \frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{1}{x} \frac{1}{1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2}}\)
i całkujesz do \(\displaystyle{ \arctg}\).

[alia]

Narysuj obszar A i ustal granice całkowania - korzystniej ustalić stałe granice dla zmiennej y, tzn. y zmienia się od 0 do 2, natomiast x zmienia się od y do 2y.
Stąd dostajemy całkę
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2}{\int_{y}^{2y}{\frac{x}{x^2+y^2}}}\,dy \,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{2}{\int_{y}^{2y}{\frac{2x}{x^2+y^2}}}\,dy \,dx =
\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\ln(x^2+y^2)\bigg|_{y}^{2y} \,dx = \\=
\frac{1}{2}\int_{0}^{2}{(\ln{5y^2}-\ln{2y^2})} \,dx=
\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\ln\frac{5}{2}\,dx=
\frac{1}{2}\ln\frac{5}{2}\int_{0}^{2} dx=\ln\frac{5}{2}}\).

[positivo]

alia: a da sie to jakos rozwiazac jezeli mam tak...

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2}\int_{\frac{x}{2}}^{x} \frac{x}{x^2+y^2} dydx}\)
??

bo nie bardzo rozumiem co sie dzieje w Twoim wywodzie...

[alia]

Nie liczyłam, bo nie lubię całek z \(\displaystyle{ arctan}\), a do takiej postaci dojdziemy po pierwszym całkowaniu (patrz wskazówka luka52).
A czego nie rozumiesz w moim rozwiązaniu, może uda mi się wyjaśnić ?

Sprawdziłam, da się wyliczyć

[positivo]

jak to sie stalo, ze ustalilas tak granice? jak do tego dojsc majac podobne zadanie...
i gdzie sie podziala 1/2 pod koniec?

[alia]

jak to sie stalo, ze ustalilas tak granice?

Trudno to wyjaśnić bez rysunku, a w tej chwili nie mam czasu by rysować i go tu wrzucić.
Ale jak sobie wykonasz rysunek, to zauważysz że wartości y zmieniają się od 0 do 2 (odpowiednio najmniejsza i największa wartość y widoczna w obszarze który narysujesz).
Natomiast co do x-ów to patrzysz tak jakby oś x była przez chwilę osią wartości (potocznie mówiąć obracasz układ współrzędnych - kartkę z wykresem - o 90 stopni w lewo), wtedy widać, że dolne ograniczenie obszaru to prosta y=x, a górne to prosta \(\displaystyle{ y=\frac{x}{2}}\), stąd aby ustalić jak zmieniają się wartości x, po prostu z równań prostych wyliczamy x=y oraz x=2y.Zatem granice całkowania są takie jak wyżej napisane.

gdzie sie podziala 1/2 pod koniec

Tym pytaniem to mnie zaskoczyłeś. To Ty nie wiesz ile wynosi całka \(\displaystyle{ \int_{0}^{2}\,dx}\)? Jak już ją sobie policzysz to zobaczysz dlaczego w wyniku nie ma liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

[positivo]

jakos schematem trzeba to zaliczyc...
dla mnie calki sa zbyt skomplikowane, zebym mogl je pojac, juz 2 semestr proboje i brak efektow...

wielkie dzieki za pomoc