Udowodnić, że jeżeli n jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczba
\(\displaystyle{ 5^{2n+1}\cdot2^{n+2}+3^{n+2}\cdot2^{2n+1}}\) jest podzielna przez 19
Męczę się i nic mi nie wychodzi.
Temat przeniosłem i nieco poprawiłem nazwę tematu.
luka52
Jedno zadanie z podzielności
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 24 sie 2007, o 23:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Dziwnów
Jedno zadanie z podzielności
Ostatnio zmieniony 25 sie 2007, o 16:48 przez Marzec91, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 22 sie 2007, o 20:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kędzierzyn-Koźle
- Podziękował: 1 raz
Jedno zadanie z podzielności
Kurczę, doszedłem do tego, że:
\(\displaystyle{ 10 5^{2n} + 9 6^{n}}\)
Ma być podzielne przez 19, lecz nie wiem jak to przekształcić(kurczę, no ), przedstawię pełen dowód, jeśli będziesz chciał i pokombinuję trochę więcej, żeby obmyślić ten wzór( albo ktoś poda to przede mną).
\(\displaystyle{ 10 5^{2n} + 9 6^{n}}\)
Ma być podzielne przez 19, lecz nie wiem jak to przekształcić(kurczę, no ), przedstawię pełen dowód, jeśli będziesz chciał i pokombinuję trochę więcej, żeby obmyślić ten wzór( albo ktoś poda to przede mną).
Ostatnio zmieniony 25 sie 2007, o 19:27 przez Gregorias, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Jedno zadanie z podzielności
Najłatwiej z indukcji. Sprawdzasz dla n=0.
Zakładamy \(\displaystyle{ 5^{2n+1}*2^{n+2}+3^{n+2}*2^{2n+1}=19k}\)
Tu już razem teza i dowód:
\(\displaystyle{ 5^{2n+3}*2^{n+3}+3^{n+3}*2^{2n+3}=50*5^{2n+1}*2^{n+2}+12*3^{n+2}*2^{2n+1}
=12*19k+38*5^{2n+1}*2^{n+2}=19*(12k+2*5^{2n+1}*2^{n+2})=19s}\) c.n.d.
Zakładamy \(\displaystyle{ 5^{2n+1}*2^{n+2}+3^{n+2}*2^{2n+1}=19k}\)
Tu już razem teza i dowód:
\(\displaystyle{ 5^{2n+3}*2^{n+3}+3^{n+3}*2^{2n+3}=50*5^{2n+1}*2^{n+2}+12*3^{n+2}*2^{2n+1}
=12*19k+38*5^{2n+1}*2^{n+2}=19*(12k+2*5^{2n+1}*2^{n+2})=19s}\) c.n.d.
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 22 sie 2007, o 20:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kędzierzyn-Koźle
- Podziękował: 1 raz
Jedno zadanie z podzielności
Heh, przez indukcję to łatwo i dlatego jej nie lubię , za łatwo. Staram się znaleźć trudniejszy dowód, bo wtedy jest more fun Wiesz jak przekształcić ten wzór? Aż dziwnie za ładnie w nim widać, że dzieli się przez 19.
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Jedno zadanie z podzielności
Nie wiem o co Ci właściwie chodzi z przekształcaniem tego wzoru. Nawet jak będziesz przekształcał tutaj nie wiadomo jak, to i tak w pewnym momencie będziesz musiał udowodnić podzielność części wyrażenia przez 19 z indukcji. Uwierz mi, że tu bawiąc się np. kongruencjami do niczego przyjemnego nie dojdziesz
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Jedno zadanie z podzielności
Czemu kongruencjami do niczego nie dojdzie?
Chcemy wykazać, że \(\displaystyle{ 10 25^n + 9 6^n \equiv 0 ( \mod 19)}\). Mamy:
\(\displaystyle{ 25 \equiv 6 ( \mod 19) \\ 25^n \equiv 6^n ( \mod 19) \\ 10 25^n \equiv 10 6^n ( \mod 19) \\ 10 25^n + 9 6^n \equiv 10 6^n + 9 6^n =19 6^n \equiv 0 ( \mod 19)}\)
Chcemy wykazać, że \(\displaystyle{ 10 25^n + 9 6^n \equiv 0 ( \mod 19)}\). Mamy:
\(\displaystyle{ 25 \equiv 6 ( \mod 19) \\ 25^n \equiv 6^n ( \mod 19) \\ 10 25^n \equiv 10 6^n ( \mod 19) \\ 10 25^n + 9 6^n \equiv 10 6^n + 9 6^n =19 6^n \equiv 0 ( \mod 19)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Jedno zadanie z podzielności
Ah, sorry racja. Po prostu patrzyłem na jego poprzedni wzór, gdzie5 było w potędze n, a nie 2n.