Jedno zadanie z podzielności

[Marzec91]

Udowodnić, że jeżeli n jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczba

\(\displaystyle{ 5^{2n+1}\cdot2^{n+2}+3^{n+2}\cdot2^{2n+1}}\) jest podzielna przez 19

Męczę się i nic mi nie wychodzi.

Temat przeniosłem i nieco poprawiłem nazwę tematu.
luka52

[Gregorias]

Kurczę, doszedłem do tego, że:
\(\displaystyle{ 10 5^{2n} + 9 6^{n}}\)

Ma być podzielne przez 19, lecz nie wiem jak to przekształcić(kurczę, no ), przedstawię pełen dowód, jeśli będziesz chciał i pokombinuję trochę więcej, żeby obmyślić ten wzór( albo ktoś poda to przede mną).

[Piotr Rutkowski]

Najłatwiej z indukcji. Sprawdzasz dla n=0.
Zakładamy \(\displaystyle{ 5^{2n+1}*2^{n+2}+3^{n+2}*2^{2n+1}=19k}\)
Tu już razem teza i dowód:
\(\displaystyle{ 5^{2n+3}*2^{n+3}+3^{n+3}*2^{2n+3}=50*5^{2n+1}*2^{n+2}+12*3^{n+2}*2^{2n+1}
=12*19k+38*5^{2n+1}*2^{n+2}=19*(12k+2*5^{2n+1}*2^{n+2})=19s}\) c.n.d.

[Gregorias]

Heh, przez indukcję to łatwo i dlatego jej nie lubię , za łatwo. Staram się znaleźć trudniejszy dowód, bo wtedy jest more fun Wiesz jak przekształcić ten wzór? Aż dziwnie za ładnie w nim widać, że dzieli się przez 19.

[Piotr Rutkowski]

Nie wiem o co Ci właściwie chodzi z przekształcaniem tego wzoru. Nawet jak będziesz przekształcał tutaj nie wiadomo jak, to i tak w pewnym momencie będziesz musiał udowodnić podzielność części wyrażenia przez 19 z indukcji. Uwierz mi, że tu bawiąc się np. kongruencjami do niczego przyjemnego nie dojdziesz

[Tristan]

Czemu kongruencjami do niczego nie dojdzie?
Chcemy wykazać, że \(\displaystyle{ 10 25^n + 9 6^n \equiv 0 ( \mod 19)}\). Mamy:
\(\displaystyle{ 25 \equiv 6 ( \mod 19) \\ 25^n \equiv 6^n ( \mod 19) \\ 10 25^n \equiv 10 6^n ( \mod 19) \\ 10 25^n + 9 6^n \equiv 10 6^n + 9 6^n =19 6^n \equiv 0 ( \mod 19)}\)

[Piotr Rutkowski]

Ah, sorry racja. Po prostu patrzyłem na jego poprzedni wzór, gdzie5 było w potędze n, a nie 2n.