Granice

[lalus_87]

Jak policzyć te granice:
1) \(\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{n \to } \sqrt[3]{{\frac{{ - n^3 + 2n}}{{2n^2 + n}}}}}\)
2) \(\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{n \to } \sqrt[{n + 1}]{{\frac{1}{{n - 1}}}}}\)
3) \(\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{n \to } ft( {1 - \frac{1}{{n^2 }}} \right)^n}\)
4) \(\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{n \to } ft( {\frac{{n^2 + 6}}{{n^2 }}} \right)^{n^2 }}\)
5) \(\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{n \to } n - \sqrt {n^2 + 5n}}\)
6) \(\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{n \to } \frac{{n^4 - n^2 - 2}}{{4n^3 - n}}}\)

[setch]

1.
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\lim_{x\to }\frac{-n+\frac{2}{n}}{2+\frac{1}{n}}}=-\infty}\)
3.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to } ft[\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{-n^2}\right]^{-\frac{1}{n}}=e^0=1}\)
6.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to } \frac{n-\frac{1}{n}-\frac{2}{n^3}}{4-\frac{1}{n^2}}=+\infty}\)

[Piotr Rutkowski]

Będę już pisał bez limesów, ok?
4)\(\displaystyle{ (\frac{n^{2}+6}{n^{2}})^{n^{2}=[(1+\frac{6}{n^{2}})^{\frac{n^{2}}{6}}]^{6}
=e^{6}}\)
5) Jak skorzystasz ze wzoru \(\displaystyle{ a-b=\frac{a^{2}-b^{2}}{a+b}}\) to ci wyjdzie:
\(\displaystyle{ n- \sqrt{n^{2}+5n}=- \frac{5n}{n+\sqrt{n^{2}+5n}}=-\frac{5}{2}}\) (wystarczy podzielić przez n

[Anathemed]

5)Korzystając z tego, ze \(\displaystyle{ a - b = \frac{a^2 - b^2}{a + b}}\) mamy:
\(\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{n \to } n - \sqrt {n^2 + 5n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to } \frac {n^2 - n^2 - 5n}{n + \sqrt {n^2 + 5n}}}\)
Po zredukowaniu wyrazów podobnych w liczniku, podzieleniu licznika i mianownika przez n, dostajemy wartość granicy, która jest równa \(\displaystyle{ -\frac{5}{2}}\)

[max]

2) Dla \(\displaystyle{ n > 2}\) jest:
\(\displaystyle{ 1\leftarrow \frac{1}{\sqrt[n - 1]{n - 1}} = \sqrt[n - 1]{\frac{1}{n-1}}< \sqrt[n + 1]{\frac{1}{n - 1}} < 1}\)
więc z tw o trzech ciągach granica wynosi 1.

[lalus_87]

Dzięki serdeczne. Mam jeszcze kilka takich zadań, ale z nimi już sobie poradzę.
Mam jeszcze tylko dwa pytania. Czy dobrze myślę w tych dwóch zadaniach nad rozwiązaniami:
1) \(\displaystyle{ \sqrt[n]{{2^n + 1}} = \sqrt[n]{{2^n + 1^n }} = 2 + 1 = 3}\)
2) \(\displaystyle{ \sqrt[n]{{n^2 - 1}} = \sqrt[n]{{\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)}} = 0}\)

[setch]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to } \sqrt[n]{2^n+1}=\lim_{n \to } ft( \sqrt[n]{2^n} \sqrt[n]{1+\frac{1}{2^n}} \right)=2\cdot 1=2}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to } ft( \sqrt[n]{n}^2 \sqrt[n]{1-\frac{1}{n^2}} \right)=1^2\cdot 1=1}\)

[max]

Jeszcze przydałoby się uzasadnić dlaczego:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\sqrt[n]{1 + \frac{1}{2^{n}}} = 1\\
\lim_{n\to }\sqrt[n]{1 - \frac{1}{n^{2}}} = 1}\)
Alternatywnie z twierdzenia o trzech ciągach, korzystając z nierówności:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{2^{n}} < \sqrt[n]{2^{n} + 1} qslant \sqrt[n]{2\cdot 2^{n}}\\
\sqrt[n]{\frac{1}{2}\cdot n}\leqslant \sqrt[n]{n - 1} < \sqrt[n]{n}}\)
oraz z granic:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a} = 1, \ a > 0\\
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} = 1}\)