obliczyć objętość obszaru v (z parametrem)

[eloar]

No to mamy obszar V:

\(\displaystyle{ V:\ \begin{cases}z^{2}(a^{2}-x^{2}-y^{2})=1\\x^{2}+y^{2}-ax=0\end{cases}}\)

Serdeczne dzięki za wszelkie objaśnienia i wskazówki.

PS. Od razu powiem jak mi się zdaje jedno, to kula o promieniu 1, a drugie to walec o promieniu \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\). Poprawcie mnie jak się mylę. Mam nadzieję, że nie .

[luka52]

To pierwsze to mi na kulę nie wygląda
A drugie to walec o promieniu a/2 i środku w (a/2,0)

Przejdźmy może na wsp. walcowe:
\(\displaystyle{ x = \rho \cos \varphi\\
y = \rho \sin \varphi\\
J = \rho}\)
Objętość wyniesie zatem:
\(\displaystyle{ \int\limits_0^{\pi} \, \mbox{d}\varphi t\limits_0^{a \cos \varphi} \rho \, \mbox{d}\rho t\limits_{ \frac{-1}{\sqrt{a^2 - \rho^2}}}^{ \frac{1}{\sqrt{a^2 - \rho^2}}} \, \mbox{d}z}\)
Wstępne rachunki podpowiadają mi, że \(\displaystyle{ |V| = 2a (\pi - 2)}\).

[eloar]

aha... no właśnie, to ja mam takie pytanie jak to rozpoznać co jest kulą, a co nie?

No i może ktoś przypadkiem wie właśnie co to jest za twór?

[luka52]

jak to rozpoznać co jest kulą, a co nie

Równanie kuli ma postać:
\(\displaystyle{ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 q r^2}\)
Widać zatem, że równania \(\displaystyle{ z^2 (a^2 - x^2 - y^2) = 1}\) (pomijam różnice między równaniem a nierównością, gdyż nie to jest istotne) nie można sprowadzić do równania sfery.

No i może ktoś przypadkiem wie właśnie co to jest za twór?

Rysunek może nie najlepszy, ale daje pojęcie co to za powierzchnia

[eloar]

hmm... ten rysunek, to cały obszar V, czy tylko płaszczyzna \(\displaystyle{ z^{2}(a^{2}-x^{2}-y^{2})=1}\)?

Rozumiem, czyli jak dostajnę jakiś taki twór, to starać się to sprowadzać do postaci kuli/stożka/walca/etc...

PS. w jakim programie rysunek robiłeś? Tylko nie tłumacz, że na Linux'ie, więc nie jest to program dla mnie, bo mam OpenSUSE na HDD . Ja czasem modeluje takie rzeczy w Blenderze, aby mieć ogląd na obszar. Oczywiście najłatwiej z bryłami obrotowymi, bo wtedy tylko przekrój i obrót wokół odpowiedniej osi.

[luka52]

Jest to sama li tylko powierzchnia (nie płaszczyzna ).

Rozumiem, czyli jak dostajnę jakiś taki twór, to starać się to sprowadzać do postaci kuli/stożka/walca/etc...

Czy sprowadzać? To zależy co masz na myśli to pisząc - jeżeli chodzi Ci o porządkowanie wyrazów to tak.

A sam rysunek został wykonany w programie Mathematica 6.0 (dostępnym zarówno na popularne jak i mniej popularne platformy ).