Wyznaczyć wzór rekurencyjny

[paolcia]

Mam problem z zadaniem :
Wyznaczyć wzór rekurencyjny dla całki oznaczonej \(\displaystyle{ I_{n} = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^{n}xdx}\) i obliczyć \(\displaystyle{ I_{6}}\). Zapisać dodatkowo pełny wzór na \(\displaystyle{ I_{n}}\) tzn. bez całek o mniejszych indeksach.

Z góry dziękuję za pomoc:)

1° Nie podpinaj się pod cudze tematy.
2° Pomiędzy znaczniki 'tex' należy umieszczać całe wyrażenie a nie dzielić je na niewiadomo ile części!
luka52

[Anathemed]

Mam problem z zadaniem :
Wyznaczyć wzór rekurencyjny dla całki oznaczonej \(\displaystyle{ I_{n} = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^{n}xdx}\) i obliczyć \(\displaystyle{ I_{6}}\). Zapisać dodatkowo pełny wzór na \(\displaystyle{ I_{n}}\) tzn. bez całek o mniejszych indeksach.

Z góry dziękuję za pomoc:)

1° Nie podpinaj się pod cudze tematy.
2° Pomiędzy znaczniki 'tex' należy umieszczać całe wyrażenie a nie dzielić je na niewiadomo ile części!
luka52

Najpierw obliczmy całkę nieoznaczoną. Skorzystamy z całkowania przez części.

\(\displaystyle{ I_{n} = \int sin^{n}xdx = \int sinx*sin^{n-1}xdx}\)

// pomocnicze obliczenia
\(\displaystyle{ du = sinx}\), \(\displaystyle{ v = sin^{n-1}x}\)
\(\displaystyle{ u = -cosx}\), \(\displaystyle{ dv = (n-1)cosxsin^{n-2}x}\)

Stąd mamy:
\(\displaystyle{ I_{n} = -cosxsin^{n-1}x + (n-1)\int cos^2 xsin^{n-2}xdx = -cosxsin^{n-1}x + (n-1)\int (1-sin^2 x)sin^{n-2}xdx =-cosxsin^{n-1}x + (n-1)\int sin^{n-2}xdx - (n-1)\int sin^n xdx = -cosxsin^{n-1}x + (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n}\)

Stąd dostajemy w końcu:
\(\displaystyle{ I_n = \frac{-cosxsin^{n-1}x + (n-1)I_{n-2}}{n}}\)

Z tym wzorem dużo łatwiej rozwiązać pozostałe części zadania, mam nadzieję że nie będziesz mieć z nimi problemów. Pozdrawiam

[paolcia]

ok troche juz rozumiem, ale jeśli możesz wyjaśnij mi dlaczego akurat w tym koncowym wzorze na In jest to podzielone przez n?? i co ztymi przedzialami na całce?

[Calasilyar]

jeśli możesz wyjaśnij mi dlaczego akurat w tym koncowym wzorze na In jest to podzielone przez n??

do tego dochodzi Anathemed w swoich rozważaniach:
\(\displaystyle{ I_{n}=-cos{x}\cdot sin^{n-1}{x}+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}}\)
no więc dalej to będzie:
\(\displaystyle{ (n-1)I_{n}+I_{n}=-cos{x}\cdot sin^{n-1}{x}+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\\
n\cdot I_{n}=-cos{x}\cdot sin^{n-1}{x}+(n-1)I_{n-2}\\
I_{n}=\frac{-cos{x}\cdot sin^{n-1}{x}+(n-1)I_{n-2}}{n}}\)

i co ztymi przedzialami na całce?

będzie analogiczny zapis, bo w końcu do tego należało to doprowadzić:
\(\displaystyle{ \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0}sin^{n}xdx=\frac{-cos{x}\cdot sin^{n-1}{x}+(n-1)\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0}sin^{n-2}xdx}{n}}\)
i teraz tylko policzyć za pomocą wzoru \(\displaystyle{ I_{6}}\).

[max]

\(\displaystyle{ \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0}sin^{n}xdx=\frac{-cos{x}\cdot sin^{n-1}{x}+(n-1)\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0}sin^{n-2}xdx}{n}}\)

Mała poprawka:
\(\displaystyle{ \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^{n}x\, =\\
=\frac{(-\cos{x}\cdot \sin^{n-1}{x})\Big|_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} + (n-1)\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^{n-2}x\,\mbox{d}x}{n} =\\
= \frac{n - 1}{n}\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^{n-2}x\,\mbox{d}x}\)