Granice ciągów

[lalus_87]

Jak obliczyć te granice:

1) \(\displaystyle{ x_{n + 1} = \frac{{x_n }}{4} - 2,x_1 = 5}\)
2) \(\displaystyle{ x_{n + 1} = \frac{{ - x_n }}{3} - 2,x_1 = 5}\)
3) \(\displaystyle{ x_{n + 1} = \sqrt {x_n } ,x_1 = a > 0}\)

Byłbym wdzięczny za wyjaśnienie w tych zadaniach skąd się co wzięło.

[siNister]

nawet ci sie wyrazów ogólnych nie chciało znaleźć?

[Piotr Rutkowski]

Co do trzeciego, to nawet nie trzeba znajdować wyrazów ogólnych, bo
\(\displaystyle{ x_{n}=\sqrt[2n]{x_{1}}=\sqrt[2n]{a}}\), a więc oczywiście dla dowolnego
\(\displaystyle{ a>0}\) ten ciąg ma granicę w jedynce.

[lalus_87]

Już wiem z poprzedniej odpowiedzi, że trzeba znaleźć wyraz ogólny ciągu, czy tak? Ale jak to zrobić? To jest \(\displaystyle{ x_n}\)? A poza tym to samo to, że nie rozumiem na razie tych zadań mnie dobija, nie musiałeś jeszcze tak po mnie pojechać takim tekstem:

nawet ci sie wyrazów ogólnych nie chciało znaleźć?

. Gdybym wiedział jak to zrobić to bym nie pisał na forum. Niestety nie wiem Przykro mi, że marnuje wam czas na takie błachostki.

[max]

siNister zamieszczanie postów pozbawionych treści merytorycznej jest zdecydowanie niewskazane.

Wyznaczanie wyrazów ogólnych nie jest konieczne, np w pierwszym i drugim przykładzie można pokazać, że ciąg jest monotoniczny i ograniczony, a następnie przejść do granicy w zależności rekurencyjnej.

A drugi przykład można zrobić np tak:
\(\displaystyle{ x_{n + 1} = \frac{-x_{n}}{3}-2\\
x_{n+1} + \frac{3}{2}= \frac{-x_{n}}{3}- \frac{1}{2}\\
x_{n+1} + \frac{3}{2}= \frac{-x_{n}-\frac{3}{2}}{3}}\)
przyjmując \(\displaystyle{ a_{n}=x_{n}+\frac{3}{2}}\) dostaniemy:
\(\displaystyle{ a_{n+1}= \frac{-a_{n}}{3}=\frac{(-1)^{n}a_{1}}{3^{n}}\to 0}\)
zatem \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}x_{n}= -\frac{3}{2}}\)

polskimisiek - przecież Ty właśnie wyznaczyłeś wyraz ogólny

[Piotr Rutkowski]

Właśnie dlatego napisałem, że nie trzeba wyznaczać wyrazu ogólnego, bo w tamtym przypadku jest on oczywisty