ciągłość funkcji

[crayan4]

Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ a,b\in R}\) funkcja


\(\displaystyle{ F(x) :=\begin{cases} ax+1 \hbox{ dla } x\leqslant \pi/2)\\sin(x) +b\hbox{ dla } x > \pi/2\end{cases}}\)


jest ciągła??
Proszę o pomoc

[Lady Tilly]

Obrazowo mówiąc można powiedzieć, że wykres funkcji ciągłej "nigdzie się nie przerywa". Masz brać pod uwagę punkt szczególny \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}}\) musisz zbadać granice dla
y=sin(x)+b przy x dążącym do tego szczególnego punktu z prawej strony.

[setch]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} ax+1=\frac{a\pi}{2}+1\\
\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^+}\sin x+b=1+b\\
\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} ax+1=\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^+}\sin x+b\\
\frac{a\pi}{2}+1=1+b\\
b=\frac{a\pi}{2}}\)

[Calasilyar]

\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}^{+}}F(x)=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}^{+}}(sinx+b)=b+1\\
\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}}F(x)=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}} (ax+1)= \frac{\pi}{2}a+1\\
\frac{\pi}{2}a+1=b+1\\
b=\frac{\pi}{2}a}\)

[crayan4]

aha!! i tyle?? też do tego doszedłem ale myślałem, że jeszcze coś więćej...