Czy mógłby ktos rozwiązać następującą całkę:
\(\displaystyle{ \int\limits_{-4}^{2} dy \int\limits_{\frac{y^2}{2}}^{4-y} 2 \sqrt{2z-y^2} dz}\)
bardzo dziekuje za ewentualną pomoc ...
Temat przeniosłem. luka52
problem z całką
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
problem z całką
\(\displaystyle{ \int\limits_{\frac{y^2}{2}}^{4-y} 2 \sqrt{2z - y^2} \, dz = \frac{2}{3} (2z - y^2)^{3/2} \Big|_{\frac{y^2}{2}}^{4-y} = \frac{2}{3} \left( - y^2 - 2y + 8 \right)^{3/2}\\
\frac{2}{3} \int\limits_{-4}^{2} \left( - y^2 - 2y + 8 \right)^{3/2} \, dy = \frac{1}{12} \left( \left( -2 y^3 - 6y^2 + 39 y + 43 \right) \sqrt{-y^2 - 2y + 8} + 243 \arcsin \frac{y+1}{3} \right) \Big|_{-4}^2 = \frac{81 \pi}{4}}\)
Dodam jeszcze, że całkę \(\displaystyle{ \int \left( - y^2 - 2y + 8 \right)^{3/2} \, dy}\) należy przekształcić do postaci \(\displaystyle{ \int \frac{(-y^2 - 2y + 8)^2}{\sqrt{-y^2 - 2y + 8}} \, dy}\) i obliczyć metodą współczynników nieoznaczonych.
\frac{2}{3} \int\limits_{-4}^{2} \left( - y^2 - 2y + 8 \right)^{3/2} \, dy = \frac{1}{12} \left( \left( -2 y^3 - 6y^2 + 39 y + 43 \right) \sqrt{-y^2 - 2y + 8} + 243 \arcsin \frac{y+1}{3} \right) \Big|_{-4}^2 = \frac{81 \pi}{4}}\)
Dodam jeszcze, że całkę \(\displaystyle{ \int \left( - y^2 - 2y + 8 \right)^{3/2} \, dy}\) należy przekształcić do postaci \(\displaystyle{ \int \frac{(-y^2 - 2y + 8)^2}{\sqrt{-y^2 - 2y + 8}} \, dy}\) i obliczyć metodą współczynników nieoznaczonych.