Zbadaj zbieżność szeregu.

[Emiel Regis]

Pozostaje mi mieć nadzieje że to całe w cudzysłowie "rozumowanie" nie jest oparte na moim cytacie...
Czemu twierdzisz że szereg "mniejszy" od rozbieżnego jest rozbieżny? A potem sobie po raz kolejny zaprzeczasz?
No i co mają te dwa szeregi harmoniczne do wyjściowego?

[zuza2006]

Czemu twierdzisz że szereg "mniejszy" od rozbieżnego jest rozbieżny? A potem sobie po raz kolejny zaprzeczasz?

Prosze zacytuj mnie bo nie widze gdzie.

[Emiel Regis]

ale przecież

\(\displaystyle{ 0}\)

[zuza2006]

Dziękuję Już tłumaczę:

Napisałeś że: szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\sqrt{n}}{n}}\)
"Bezwzględnie to on na pewno nie jest zbieżny.
Tutaj też można by moduł licznika oszacować przez jeden. I wtedy taki harmoniczny nigdy nie będzie zbieżny."

czyli rozumiem że chodziło Ci o to że

\(\displaystyle{ 0}\)

[Emiel Regis]

Masz racje, bez sensu to napisałem, przepraszam za zamieszanie.
Nieformalnie rzecz biorąc ja to widzę w ten sposób:
o zbieżności bezwzględnej decyduje głównie stopień potęgi w mianowniku, w zwiazku z tym przypuszczam że bedzie on rozbieżny. Zamiast poprzedniej błędnej jedynki można wziaść bardzo małą liczbę jako oszacowanie od DOŁU rzecz jasna.
np:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\frac{1}{666^{666}}}{n}}\)
Oczywiscie szereg o powyższych wyrazach nie jest minorantą dla naszego bo nie wiemy czy wszystkie wyrazy spełniają nierówność:
\(\displaystyle{ |sin \sqrt{n}| qslant \frac{1}{666^{666}}}\)
Może ich nieskonczenie wiele nie spełniać (co też niekoniecznie musi przeszkadzać).


Jeszcze można by to próbować potwierdzic przez kryterium ilorazowe.
Weźmy \(\displaystyle{ a_n=\frac{sin \sqrt{n}}{n} \qquad b_n=\frac{1}{n}}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } \frac{|a_n|}{b_n} = \lim_{n \to } |sin \sqrt{n}|}\)
Taka granica oczywiście nie istnieje jednak granica górna takiego wyrażenia na pewno jest mniejsza lub równa jeden (o ile jest...), w każdym razie jest to jakaś stała liczba (nie zero ani nie nieskonczonosc). Tylko nie wiem czy w tym kryterium można zastąpić granicę przez granicę górną.

Powyższe moje dywagacje są z pogranicza matematyki i filozofii matematyki, dlatego jeśli ktoś potrafi to zrobić formalnie to z checią poczytam.

[przemk20]

niechodzi mi o szacowananie przez \(\displaystyle{ \sum \frac{1}{n}}\) tylko przez \(\displaystyle{ \sum \frac{1}{n^a}}\)
wiadomo, ze
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} > \frac{\sin \sqrt n}{n} > 0 \\
niech \ f(x) = n^x \\
f(-1) = \frac{1}{n}, \ \lim_{k \to - } f(k) = 0 \\}\)
z wlasnosci f ciaglych
\(\displaystyle{ \bigvee x (-\infty; -1), \ \ f(x) = \frac{\sin \sqrt n}{n} \\}\)
oczywiscie \(\displaystyle{ b_k = 1}\) tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \sin \sqrt k = 1}\) a to niezachodzi (1)

[mol_ksiazkowy]

przemk 20 napisa:

oczywiscie \(\displaystyle{ b_k = 1}\) tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \sin \sqrt k = 1}\) a to niezachodzi (1)

ale b=bk to wg twoich oznaczen kres dolny zbioru nieskonczonego, tj moze byc bj>1 a b=1 .tak?

[przemk20]

nie wiem za bardzo o co ci chodzi,

ale ja wychodze z warunku, ze dla kazdeg \(\displaystyle{ n \in N, \ \ \sqrt n \neq k \pi + \frac{\pi}{2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ |\sin \sqrt n| \neq 1}\)
stad, dla kazdego
\(\displaystyle{ i \in N, \ \ b_i > 1, \ \ bo \ \ \sin |\sqrt n| \neq 1 \\}\)
czyli takze
\(\displaystyle{ min \ a_i = b_k > 1 \\}\)

[max]

A co gdy \(\displaystyle{ \forall \varepsilon > 0 \ \exists i\in \mathbb{N} \ \left(1 }\)

Innymi słowy skąd wiesz, że w zbiorze \(\displaystyle{ \{b_{i}\ : \ i \in \mathbb{N}\}}\) istnieje element najmniejszy? Czemu wyrazy ciągu \(\displaystyle{ \sin \sqrt{n}}\) nie mogą być dowolnie bliskie jedynce?

Na tej samej zasadzie możesz 'udowodnić' zbieżność szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{2n}}\)

[zuza2006]

To ostatecznie jaki jest ten szereg