[Teoria liczb] Równanie z liczbami pierwszymi

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

[Teoria liczb] Równanie z liczbami pierwszymi

Post autor: Piotr Rutkowski »

Niech \(\displaystyle{ (p_{n})}\) będzie ciągiem kolejnych liczb pierwszych. Czy może zachodzić równość:
\(\displaystyle{ p_{1}p_{2}...p_{n}+1=a^{l}}\) dla \(\displaystyle{ a,l \in N}\) oraz \(\displaystyle{ l>1}\)
bullay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: -----
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 26 razy

[Teoria liczb] Równanie z liczbami pierwszymi

Post autor: bullay »

Podpowiedz:
\(\displaystyle{ p_{1}p_{2}...p_{n}=(a^{\frac{l}{2}}-1)(a^{\frac{l}{2}}+1)}\)
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

[Teoria liczb] Równanie z liczbami pierwszymi

Post autor: Piotr Rutkowski »

Mógłbyś to trochę bardziej rozwinąć? Bo ja na razie nie widzę rozwiązania ??:
bullay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: -----
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 26 razy

[Teoria liczb] Równanie z liczbami pierwszymi

Post autor: bullay »

No, wiec tak:
Jesli a jest liczba nieparzysta to prawa strona jest nieparzysta. Ale lewa jest parzysta, czyli sprzecznosc

Jesli a jest liczba parzysta. No to mamy iloczyn dwoch kolejnych liczb, czyli mozemy podzielic lewa i prawa strone przez 2. Ale wtedy po lewej stronie bedziemy mieli liczbe nieparzysta, a po prawej parzysta, czyli znowu sprzecznosc.

Mam nadzieje, ze wszystko jest jasne i ze nigdzie nie zrobilem bledu.
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

[Teoria liczb] Równanie z liczbami pierwszymi

Post autor: Piotr Rutkowski »

Chciałbym tylko zauważyć, że jeśli a jest nieparzyste, to prawa strona jest parzysta i nie mozna tak dojść do sprzeczności. Można w taki sposób, że jeśli a jest nieparzyste to prawa strona dzieli się przez cztery. Natomiast co do a parzystego to mnie to wcale nie przekonuje. Poza tym nie mamy tu "dwóch kolejnych liczb", ale muszę przyznać, że jesteś blisko rozwiązania. Wystarczy drobna korekta i już po kłopocie. Najprościej, gdy a jest parzyste, to cała prawa strona jako iloczyn liczb nieparzystych jest nieparzysta Po prostu troszkę przekombinowałeś
Awatar użytkownika
Calasilyar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

[Teoria liczb] Równanie z liczbami pierwszymi

Post autor: Calasilyar »

Podana równość nie może zachodzić, gdyż \(\displaystyle{ p_{1}p_{2}...p_{n}+1}\) jest liczba pierwszą, a przez to nie może być przedstawiona w postaci potęgi o wykładniku \(\displaystyle{ l>1}\).
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

[Teoria liczb] Równanie z liczbami pierwszymi

Post autor: Piotr Rutkowski »

Jesteś pewien, że jest to liczba pierwsza? Jeśli tak, to całe zadanie jest bez sensu. Ale z czego Ci to wyszło? Jest na to jakiś lemacik?
bullay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: -----
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 26 razy

[Teoria liczb] Równanie z liczbami pierwszymi

Post autor: bullay »

polskimisiek wskaz mi dokladnie gdzie jest blad to go poprawie. Moje rozumowanie pisalem z mysli bez zadnego zapisu na kartce, wiec pewnie dlatego gdzies jest blad.
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

[Teoria liczb] Równanie z liczbami pierwszymi

Post autor: Piotr Rutkowski »

Napisałeś trochę na odwrót. Tutaj jeśli a jest nieparzyste, to prawa strona jest parzysta, a nawet podzielna przez 4.
Awatar użytkownika
Calasilyar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

[Teoria liczb] Równanie z liczbami pierwszymi

Post autor: Calasilyar »

Wracając do mojego poprzedniego postu: \(\displaystyle{ p_{1}p_{2}...p_{n}}\) jest podzielna przez wszystkie liczby pierwsze aż do n-tej. Dodając jedynkę wiemy, że otrzymana liczba nie jest podzielna przez żadną spośród liczb \(\displaystyle{ p_{1}}\), \(\displaystyle{ p_{2}}\), \(\displaystyle{ p_{3}}\), ..., \(\displaystyle{ p_{n}}\), a zatem jest kolejną liczbą pierwszą.
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

[Teoria liczb] Równanie z liczbami pierwszymi

Post autor: Rogal »

Oj, Calasilyar, niestety nie jest kolejną liczbą pierwszą, wystarczy za n wrazić szóstkę
Można na pewno zauważyć, że lewa strona początkowej równości jest zawsze nieparzysta, z tego prosty wniosek, że a musi być również nieparzyste.
Jeśli przeniesiemy jedynkę na drugą stronę i skorzystamy ze wzoru na różnicę potęg, to otrzymamy po prawej stronie \(\displaystyle{ (a-1)(a^{l-1} + a^{l-2} + ... + a^{1} + 1)}\). Wtedy a-1 musi być dzielnikiem którejś z liczb po lewej, więc a-1 = 1 lub \(\displaystyle{ a-1=p_{k}}\), gdzie \(\displaystyle{ p_{k}}\) to oczywiście jakaś byle jaka liczba pierwsza z tamtego iloczynu z wyjątkiem dwójki.
a=2 odpada od raziutku, więc przyjmujemy \(\displaystyle{ a = p_{k} + 1}\)
Wtedy mamy równanko
\(\displaystyle{ p_{1}p_{2}...p_{n} = p_{k}( (p_{k}+1)^{l-1} + (p_{k}+1)^{l-2} + ... + (p_{k}+1)^{1} + 1)}\)
Oczywiście nasze wyimaginowe \(\displaystyle{ p_{k}}\) możemy skrócić sobie stronami, tak dla fikuśniejszego zapisu. Wtedy widzimy, że prawą stronę da się zapisać jako \(\displaystyle{ p_{k} m + l}\), gdzie m jest sobie jakieś tam naturalne dodatnie. l nie może być równe \(\displaystyle{ p_{k}}\), bo lewa strona się już przez nią nie dzieli, ale jakie musi być, to jakoś nie mogę wymłodzić. Zostawiam te wypociny, może kogoś naprowadzą
Awatar użytkownika
Calasilyar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

[Teoria liczb] Równanie z liczbami pierwszymi

Post autor: Calasilyar »

Rogal pisze:Oj, Calasilyar, niestety nie jest kolejną liczbą pierwszą, wystarczy za n wrazić szóstkę
heh, a wyglądało tak ładnie Rogal, ty to zawsze musisz popsuć
bullay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: -----
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 26 razy

[Teoria liczb] Równanie z liczbami pierwszymi

Post autor: bullay »

Rogal Moze to nie jest kolejna liczba pierwsza, ale i tak jest liczba pierwsza. Mamy o tym napisane tutaj:



Czyli jednak Calasilyar masz dobry pomysl
Awatar użytkownika
Calasilyar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

[Teoria liczb] Równanie z liczbami pierwszymi

Post autor: Calasilyar »

Calasilyar pisze:Czyli jednak Calasilyar masz dobry pomysl
no właśnie nie, to było użyteczne w dowodzie na istnienie wszystkich liczb pierwszych (czyli \(\displaystyle{ p_{1}p_{2}...p_{n}+1}\) byłaby liczba pierwszą, gdybyśmy oznaczyli za \(\displaystyle{ p_{n}}\) "ostatnią"), ale wobec nieskończonej liczby liczb pierwszych jest to bezużyteczne. Zresztą w przykładzie podanym przez Rogala przykładzie n=6 jest:
\(\displaystyle{ 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13 +1 = 30031}\), a to nie jest liczba pierwsza.
_el_doopa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 453
Rejestracja: 22 sie 2004, o 23:09
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 16 razy

[Teoria liczb] Równanie z liczbami pierwszymi

Post autor: _el_doopa »

Liczby pierwsze nie sa takie prostackie
Rogal \(\displaystyle{ a-1}\) nie musi byc pierwsze.
ODPOWIEDZ