wartość największa i najmniejsza

magdamala20 · Post autor: **magdamala20** » 23 sie 2007, o 16:24

Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji
\(\displaystyle{ f(x,y)=2x^{2}-x+y^{2}-y}\)
na zbiorze {(x,y) należy do R^2: x≥0, y≥0, x+1≤1 }

Z góry dziękuję za jakąkolwiek pomoc!

scyth · Post autor: **scyth** » 23 sie 2007, o 16:48

\(\displaystyle{ \frac{df}{dx}=4x-1, \ \frac{df}{dy}=2y-1, \ \frac{d^2f}{dx^2}=4, \ \frac{d^2f}{dy^2}=2, \ \frac{d^2f}{dxdy}=\frac{d^2f}{dydx}=0}\)

Zatem funkcja ma ekstermum w punkcie \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{4},\frac{1}{2} \right)}\), który należy do szukanego zbioru. (Zakładam, że trzeci warunek to x+y≤1) - w tym punkcie osiąga minimum lokalne i \(\displaystyle{ min=-\frac{3}{8}}\). Ponieważ to jedyne ekstremum tej funkcji to maksimum osiąga na brzegu obszaru. Gdy
\(\displaystyle{ x=0 max=0}\)
\(\displaystyle{ y=0 max=1}\)
\(\displaystyle{ x+y=1 max=1}\).

magdamala20 · Post autor: **magdamala20** » 23 sie 2007, o 19:13

ale dlaczego jako trzeci warunek przyjąłeś x+y≤1?

Arek · Post autor: **Arek** » 23 sie 2007, o 20:28

Warunek \(\displaystyle{ x+1\leq 1}\) wygląda dziwnie, a taki podałaś. Literówka, tam powinno być y.

Warto tylko dopowiedzieć, dlaczego w ogóle wartość najmniejsza i największa istnieją w tym przypadku. Jest tak dlatego, że rozpatrujemy funkcję ciągłą na zbiorze zwartym (o ile przyjmiemy za scyth warunek III). Istnienie jest zatem konsekwencją tw. Weierstrassa o kresach.

magdamala20 · Post autor: **magdamala20** » 23 sie 2007, o 20:57

dziękuję, właśnie ten trzeci warunek mnie trochę zmylił i nie bardzo wiedziałam jak sobie z tym poradzić, widocznie błąd. Jeszcze raz dziękuję za pomoc! pozdrawiam

[ Dodano: 3 Września 2007, 20:08 ]
mam jeszcze pytanie, wiem ze pożno sie opamiętałam ale nie miałam mozliwości napisać szybciej, czy aby napewno min=-3/8, bo mi wyszlo min=-1/3. Jeśli zrobiłam błąd to mogłby ktoś mi wytłumaczyć jak zostało to policzone?