stopien rozszerzenia ciala

[jagoda18]

Prosilabym o pomoc jaki jest stopien rozszerzenia:
\(\displaystyle{ [Q(i\sqrt{3},i\sqrt{7}):Q(i\sqrt{3})]}\)

[Arek]

\(\displaystyle{ Q(i\sqrt{3},i\sqrt{7})=Q(i\sqrt{3},i\sqrt{3}\cdot i \sqrt{7}) = Q(i\sqrt{3},-\sqrt{21}) = Q(i\sqrt{3})(-\sqrt{21})}\)

Weźmy \(\displaystyle{ f = x^2 - 21 Q(i\sqrt{3})[x]}\)

Jest on nierozkładalny nad \(\displaystyle{ Q(i\sqrt{3})}\), zatem skoro \(\displaystyle{ f(-\sqrt{21})=0}\), to stopień rozszerzenia wynosi 2.

[agusia_a]

Ja bym to zrobiła inaczej..
Mianowicie:

Szukamy \(\displaystyle{ f\in\mathbb{Q}(i\sqrt{3})[x]}\) - musi być unitarny, nierozkładalny w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(i\sqrt{3})[x]}\) oraz \(\displaystyle{ f(i\sqrt{3})=0}\)
Czyli \(\displaystyle{ f=x^{2}+7 \mathbb{Q}(i\sqrt{3})[x]}\)
\(\displaystyle{ f\in\mathbb{Q}(i\sqrt{3})[x]}\) - unitarny, nierozkładalny w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(i\sqrt{3})[x]}\) , bo nie ma pierwiastków w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(i\sqrt{3})[x]}\) , ponieważ \(\displaystyle{ i\sqrt{7}}\) nie należy do \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(i\sqrt{3})[x]}\).

Baza: \(\displaystyle{ 1,i\sqrt{7}}\).

Staąd stopień rozszerzenia wynosi 2.