Planimetria (ekstremum)
-
Grzegorz t
- Użytkownik
- Posty: 813
- Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
- Pomógł: 206 razy
Planimetria (ekstremum)
W wycinek koła o promieniu \(\displaystyle{ R}\) i kącie środkowym \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) wpisano prostokąt o możliwie największym polu w taki sposób, że dwa jego wierzchołki leżą na jednym promieniu, a z pozostałych dwóch jeden leży na łuku, a drugi na promieniu tego wycinka. Wyznaczyć pole tego prostokąta.
-
CheGitarra
- Użytkownik
- Posty: 62
- Rejestracja: 16 paź 2006, o 13:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z planety IRK
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 6 razy
Planimetria (ekstremum)
Zadanie nie jest trudne, wystarczy je dobrze rozpisać...
Pole prostokąta opiszemy \(\displaystyle{ P = (x_{2}-x_{1})*y}\)
Zauważamy, że \(\displaystyle{ x_{1}=y}\)
Punkt na odcinku opisuje równanie \(\displaystyle{ x_{2}^2+y^2 = R^2}\), więc \(\displaystyle{ x_{2}^2=\sqrt{R^2-y}}\)
Podstawiamy do wzoru na pole \(\displaystyle{ P = (x_{2}-x_{1})*y=(\sqrt{R^2-y^2}-y)*y}\)
Teraz wystarczy policzyć pochodną tej f-cji i sprawdzić gdzie ma dodatnie ekstrema... a potem podstawić do właściwej f-cji pola pamiętając jeszcze , że \(\displaystyle{ 0 qslant y qslant R}\)
Pole prostokąta opiszemy \(\displaystyle{ P = (x_{2}-x_{1})*y}\)
Zauważamy, że \(\displaystyle{ x_{1}=y}\)
Punkt na odcinku opisuje równanie \(\displaystyle{ x_{2}^2+y^2 = R^2}\), więc \(\displaystyle{ x_{2}^2=\sqrt{R^2-y}}\)
Podstawiamy do wzoru na pole \(\displaystyle{ P = (x_{2}-x_{1})*y=(\sqrt{R^2-y^2}-y)*y}\)
Teraz wystarczy policzyć pochodną tej f-cji i sprawdzić gdzie ma dodatnie ekstrema... a potem podstawić do właściwej f-cji pola pamiętając jeszcze , że \(\displaystyle{ 0 qslant y qslant R}\)