Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji
\(\displaystyle{ f(x,y)=2x^{2}-x+y^{2}-y}\)
na zbiorze {(x,y) należy do R^2: x≥0, y≥0, x+1≤1 }
Z góry dziękuję za jakąkolwiek pomoc!
wartość największa i najmniejsza
-
- Użytkownik
- Posty: 52
- Rejestracja: 29 cze 2007, o 17:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: głubczyce
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
wartość największa i najmniejsza
\(\displaystyle{ \frac{df}{dx}=4x-1, \ \frac{df}{dy}=2y-1, \ \frac{d^2f}{dx^2}=4, \ \frac{d^2f}{dy^2}=2, \ \frac{d^2f}{dxdy}=\frac{d^2f}{dydx}=0}\)
Zatem funkcja ma ekstermum w punkcie \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{4},\frac{1}{2} \right)}\), który należy do szukanego zbioru. (Zakładam, że trzeci warunek to x+y≤1) - w tym punkcie osiąga minimum lokalne i \(\displaystyle{ min=-\frac{3}{8}}\). Ponieważ to jedyne ekstremum tej funkcji to maksimum osiąga na brzegu obszaru. Gdy
\(\displaystyle{ x=0 max=0}\)
\(\displaystyle{ y=0 max=1}\)
\(\displaystyle{ x+y=1 max=1}\).
Zatem funkcja ma ekstermum w punkcie \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{4},\frac{1}{2} \right)}\), który należy do szukanego zbioru. (Zakładam, że trzeci warunek to x+y≤1) - w tym punkcie osiąga minimum lokalne i \(\displaystyle{ min=-\frac{3}{8}}\). Ponieważ to jedyne ekstremum tej funkcji to maksimum osiąga na brzegu obszaru. Gdy
\(\displaystyle{ x=0 max=0}\)
\(\displaystyle{ y=0 max=1}\)
\(\displaystyle{ x+y=1 max=1}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 52
- Rejestracja: 29 cze 2007, o 17:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: głubczyce
- Arek
- Użytkownik
- Posty: 1729
- Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 12 razy
wartość największa i najmniejsza
Warunek \(\displaystyle{ x+1\leq 1}\) wygląda dziwnie, a taki podałaś. Literówka, tam powinno być y.
Warto tylko dopowiedzieć, dlaczego w ogóle wartość najmniejsza i największa istnieją w tym przypadku. Jest tak dlatego, że rozpatrujemy funkcję ciągłą na zbiorze zwartym (o ile przyjmiemy za scyth warunek III). Istnienie jest zatem konsekwencją tw. Weierstrassa o kresach.
Warto tylko dopowiedzieć, dlaczego w ogóle wartość najmniejsza i największa istnieją w tym przypadku. Jest tak dlatego, że rozpatrujemy funkcję ciągłą na zbiorze zwartym (o ile przyjmiemy za scyth warunek III). Istnienie jest zatem konsekwencją tw. Weierstrassa o kresach.
-
- Użytkownik
- Posty: 52
- Rejestracja: 29 cze 2007, o 17:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: głubczyce
wartość największa i najmniejsza
dziękuję, właśnie ten trzeci warunek mnie trochę zmylił i nie bardzo wiedziałam jak sobie z tym poradzić, widocznie błąd. Jeszcze raz dziękuję za pomoc! pozdrawiam
[ Dodano: 3 Września 2007, 20:08 ]
mam jeszcze pytanie, wiem ze pożno sie opamiętałam ale nie miałam mozliwości napisać szybciej, czy aby napewno min=-3/8, bo mi wyszlo min=-1/3. Jeśli zrobiłam błąd to mogłby ktoś mi wytłumaczyć jak zostało to policzone?
[ Dodano: 3 Września 2007, 20:08 ]
mam jeszcze pytanie, wiem ze pożno sie opamiętałam ale nie miałam mozliwości napisać szybciej, czy aby napewno min=-3/8, bo mi wyszlo min=-1/3. Jeśli zrobiłam błąd to mogłby ktoś mi wytłumaczyć jak zostało to policzone?