równanie różniczkowe niejednorodne czy może byc jednak

[joannna]

mam takie równanie gdzie wychodzi mi dwoma metodami ze rozwiązaniem jest tylko równanie z rozwiązaniami jednorodnymi\(\displaystyle{ y=c1+c2e^{4x}}\)
a równanie jest następujące \(\displaystyle{ y''-4y'=12x^{2}}\)
czy dobrze mi wyszło czy to możliwen jesli komus inaczej by wyszło to prosze o jakies wskazówki

[luka52]

z rozwiązaniami jednorodnymi

Rozwiązania jednorodne ??:

Równanie \(\displaystyle{ y'' - 4 y' = 12x^2}\) jest równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego sprowadzalnym do równania rzędu pierwszego przez podstawienie y'(x) = p(x).
Po podstawieniu mamy:
\(\displaystyle{ p' - 4p = 12x^2}\)
Jednym ze sposobów na rozwiązanie tego równania jest najpierw rozwiązanie równania jednorodnego \(\displaystyle{ p' - 4p = 0}\) a następnie zastosowanie metody uzmienniania stałej lub też metodą przewidywań, która w tym przypadku chyba lepiej się sprawdzi (ale to raczej jest kwestia indywidualna).

Rozwiązaniem jest oczywiście \(\displaystyle{ p(x) = - \frac{3}{8}\left(8x^2 + 4 x + 1) + C_1 e^{4x}}\)
A w celu otzrymania ostatecznego wyniku należy obliczyć: \(\displaystyle{ y(x) = \int p(x) \, \mbox{d}x = \ldots}\)

[Nty]

rozwiązaniami jednorodnymi

Wystarczy przeczytać to co podkreśliłem w cytacie i wiemy, że Twój wynik jest niepoprawny
Jeśli chodzi o sprawdzenie to zawsze możesz zróżniczkować funkcję \(\displaystyle{ y(x)}\) odpowiednią ilość razy i wstawić do równania, jeśli otrzymasz prawą stroną to znaczy, że dobrze rozwiązałaś.
Ok, przejdźmy do zadania
Twój wynik to rozwiązanie równania jednorodnego, więc pozostaje nam znaleźć rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego i jesteśmy w domu
Zastosujmy metodę przewidywań,
z racji tego iż prawa strona równania ma postać \(\displaystyle{ P(x)e^{\alpha x}}\)
gdzie \(\displaystyle{ P(x)}\) jest wielomianem stopnia drugiego, a \(\displaystyle{ \alpha=0}\)
będziemy przewidywać wynik w postaci \(\displaystyle{ x^sQ(x)e^{\alpha x}}\),
gdzie Q jest wielomianem tego samego stopnia co P,
\(\displaystyle{ s=1}\), gdyż 0 jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu charakterystycznego, a \(\displaystyle{ \alpha=0}\) , stąd mamy:
\(\displaystyle{ y_s(x)=ax^3+bx^2+cx}\),
różniczkujemy ją dwukrotnie
\(\displaystyle{ y'_s=3ax^2+2bx+c, \quad y''_s=6ax+2b}\)
i wstawiamy do naszego równania:

\(\displaystyle{ 6ax+2b-4(3ax^2+2bx+c) \equiv 12x^2\\
6ax+2b-12ax^2-8bx-4c \equiv 12x^2 \\
-12ax^2+(6a-8b)x+2b-4c \equiv 12x^2}\)

Porównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach i zapisujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{lll}
-12a&=&12\\
6a-8b&=&0\\
2b-4c&=&0 \\
\end{array} \right.
\\
\left\{\begin{array}{lll}
a&=&-1\\
b&=&-\frac{3}{4}\\
c&=&-\frac{3}{8} \\
\end{array} \right.}\)


Wstawiamy współczynniki do \(\displaystyle{ y_{s}(x)}\) i mamy rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego.

\(\displaystyle{ y_s(x)=-x^3-\frac{3}{4}x^2-\frac{3}{8} x}\)

zatem rozwiązaniem ogólnym równanie niejednorodnego jest
\(\displaystyle{ y(x)=c_1+c_2e^{4x}-x^3-\frac{3}{4}x^2-\frac{3}{8} x}\)

jest równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego sprowadzalnym do równania rzędu pierwszego przez podstawienie y'(x) = p(x).

Nasze równanie to równanie różniczkowe liniowe niejednorodne rzędu drugiego, sposóbów na rozwiązanie jest multum, m. in można tak jak napisałeś poprzez podstawienie, jednak na ogół rozwiązujemy takie równania metodą przewidywań bądź też uzmienniania stałych.
W tym przypadku rozwiązanie ogólne niejednorodnego to rozwiązanie jednorodnego + szczególne niejednorodnego.