wykaz, że równanie
\(\displaystyle{ \ln xy+y^{2}+sin pix=1}\)
okresla w otoczeniu punktu (1,1) rosnaca funkcję \(\displaystyle{ y=y(x)}\)
funkcja uwiklana
-
- Użytkownik
- Posty: 52
- Rejestracja: 29 cze 2007, o 17:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: głubczyce
- Arek
- Użytkownik
- Posty: 1729
- Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 12 razy
funkcja uwiklana
Można skorzystać z twierdzenia o funkcji uwikłanej.
Przypomnijmy to twierdzenie:
TFU
Niech
\(\displaystyle{ F:R^l R^k R^k}\)
będzie funkcją klasy \(\displaystyle{ C^1}\) określoną na pewnym otwartym podzbiorze.
Załóżmy, że:
1) Dla pewnego punktu \(\displaystyle{ x_0 R^l}\) istnieje \(\displaystyle{ y_0 R^k}\), że \(\displaystyle{ F(x_0,y_0)=0}\)
2) \(\displaystyle{ det(Df_y(x_0,y_0)) 0}\) (innymi słowy macierz różniczki f, w kwadratowej części "odpowiadającej za zmienną y" jest nieosobliwa)
Wówczas istnieją otoczenia \(\displaystyle{ U R^l}\), \(\displaystyle{ V R^k}\) punktów \(\displaystyle{ x_0, y_0}\), że układ równań F(x,y)=0 ma dokładnie jedno rozwiązanie dla wszystkich punktów z tych otoczeń.
Ponadto, można zdefiniować na zbiorze U funkcję y(x), klasy C1, gdzie:
\(\displaystyle{ D_y(x) = -(DF_y(x,y(x))^{-1}(DF_x(x,y(x))}\)
----
W naszym przypadku, równanie podane przez Ciebie ma rozwiązanie w punkcie (1,1). W otoczeniu punktu (1,1) funkcja \(\displaystyle{ F(x,y) = ln(xy) + y^2 + sin(\pi x) - 1}\) jest klasy C1, zaś w jej przypadku:
\(\displaystyle{ Df_y(x,y) = \frac{1}{y} + 2y}\)
Więc
\(\displaystyle{ Df_y(1,1) = 3 0}\)
--
Zatem istotnie mamy już w garści zadanie. Istnieją odpowiednie otoczenia U, V, że można określić funkcję y(x), klasy C1. Ciebie interesuje, czy jest w pewnym otoczeniu rosnąca?
Po to mamy wzór na jej pochodną.
\(\displaystyle{ D_y(x) = -(DF_y(x,y(x))^{-1}(DF_x(x,y(x))}\)
W tym przypadku nie dostaniesz żadnych macierzy, tylko normalne wyrażenie algebraiczne. Wystarczy zatem wyliczyć, dostaniesz pochodną y(x), no i trzeba się modlić, żeby była to funkcja dodatnia na przedziale U, to wystarczy, aby y(x) była rosnąca.
Przeliczenie zostawiam. Mam nadzieję, że wychodzi.
Przypomnijmy to twierdzenie:
TFU
Niech
\(\displaystyle{ F:R^l R^k R^k}\)
będzie funkcją klasy \(\displaystyle{ C^1}\) określoną na pewnym otwartym podzbiorze.
Załóżmy, że:
1) Dla pewnego punktu \(\displaystyle{ x_0 R^l}\) istnieje \(\displaystyle{ y_0 R^k}\), że \(\displaystyle{ F(x_0,y_0)=0}\)
2) \(\displaystyle{ det(Df_y(x_0,y_0)) 0}\) (innymi słowy macierz różniczki f, w kwadratowej części "odpowiadającej za zmienną y" jest nieosobliwa)
Wówczas istnieją otoczenia \(\displaystyle{ U R^l}\), \(\displaystyle{ V R^k}\) punktów \(\displaystyle{ x_0, y_0}\), że układ równań F(x,y)=0 ma dokładnie jedno rozwiązanie dla wszystkich punktów z tych otoczeń.
Ponadto, można zdefiniować na zbiorze U funkcję y(x), klasy C1, gdzie:
\(\displaystyle{ D_y(x) = -(DF_y(x,y(x))^{-1}(DF_x(x,y(x))}\)
----
W naszym przypadku, równanie podane przez Ciebie ma rozwiązanie w punkcie (1,1). W otoczeniu punktu (1,1) funkcja \(\displaystyle{ F(x,y) = ln(xy) + y^2 + sin(\pi x) - 1}\) jest klasy C1, zaś w jej przypadku:
\(\displaystyle{ Df_y(x,y) = \frac{1}{y} + 2y}\)
Więc
\(\displaystyle{ Df_y(1,1) = 3 0}\)
--
Zatem istotnie mamy już w garści zadanie. Istnieją odpowiednie otoczenia U, V, że można określić funkcję y(x), klasy C1. Ciebie interesuje, czy jest w pewnym otoczeniu rosnąca?
Po to mamy wzór na jej pochodną.
\(\displaystyle{ D_y(x) = -(DF_y(x,y(x))^{-1}(DF_x(x,y(x))}\)
W tym przypadku nie dostaniesz żadnych macierzy, tylko normalne wyrażenie algebraiczne. Wystarczy zatem wyliczyć, dostaniesz pochodną y(x), no i trzeba się modlić, żeby była to funkcja dodatnia na przedziale U, to wystarczy, aby y(x) była rosnąca.
Przeliczenie zostawiam. Mam nadzieję, że wychodzi.
Ostatnio zmieniony 23 sie 2007, o 15:33 przez Arek, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 52
- Rejestracja: 29 cze 2007, o 17:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: głubczyce