Przedział całkowania, krzywe dane parametrycznie i bieguno

koqwax · Post autor: **koqwax** » 22 sie 2007, o 20:42

Mamy krzywe zadane parametrycznie:

\(\displaystyle{ x=cos^{3}{t}}\)

\(\displaystyle{ y=sin^{3}{t}}\)

i wzór na obszar nimi ograniczony, którego szukamy\(\displaystyle{ D=\int\limits_{t_{1}}^{t_{2}}x(t)y'(t)dt}\)

Podstawiam i jest OK.

Tylko jak znaleźć w takiej sytuacji granice całkowania \(\displaystyle{ t_{1},t_{2}}\)?

W tym przykładzie \(\displaystyle{ t_{1}=0,t_{2}=\pi/2}\)

Jeszcze do tego pojawiły się założenia \(\displaystyle{ cos{t}\leqslant\pi/2}\)

oraz \(\displaystyle{ OX,OY}\)

Czy te założenia zostały nałożone odgórnie czy też wynikają z danych równań?

luka52 · Post autor: **luka52** » 22 sie 2007, o 21:02

Krzywa będzie zamknęta, gdy \(\displaystyle{ t_1 = 0, \ \ t_2 = 2 \pi}\) (a ogólniej to nawet \(\displaystyle{ t_2 - t_1 = 2 \pi}\)
Należy po prostu obliczyć, zaczynając od jakiegoś \(\displaystyle{ t_1 = 0}\) dla jakiego (najmniejszego \(\displaystyle{ t_2}\) krzywa powróci w ten sam punkt, z którego "wyszła". Czyli musi być (x(t1), y(t1)) = (x(t2), y(t2)).

BTW. Założenie \(\displaystyle{ \cos t q \pi /2}\) jest bez sensu, bo przecież \(\displaystyle{ -1 q \cos t q 1 < \pi /2}\)

koqwax · Post autor: **koqwax** » 22 sie 2007, o 22:21

Teraz już to ogarniam. Dzięki za wyjaśnienie.
A te założenie \(\displaystyle{ cos{t}\leqslant\pi/2}\) faktycznie, trochę nietrafione

\(\displaystyle{ x=asin{t}}\)

\(\displaystyle{ y=bsin{2t}}\)

Żeby się upewnić co do rozumowania: w przypadku powyżej \(\displaystyle{ t\in(0;\pi)}\)?

----------------

Mam takie samo pytanie, to znaczy jak wyznaczyć przedział całkowania, kiedy mamy krzywa zadaną biegunowo?

\(\displaystyle{ r(\varphi)=asin(3\varphi)}\)

we wzorze \(\displaystyle{ D=\int\limits_{\varphi_{1}}^{\varphi_{2}}r^{2}(\varphi)d\varphi}\)

w notatkach mam \(\displaystyle{ \varphi\in\langle0;\pi/6)}\) w tym przykładzie, ale po ostatnich przygodach mam do nich ograniczone zaufanie.

luka52 · Post autor: **luka52** » 22 sie 2007, o 22:39

ad. pierwsze pytanie
No niezupełnie - tu musi być \(\displaystyle{ 0 q t q 2 \pi}\) Bo krzywa jest nieco "dziwaczna" Gdy \(\displaystyle{ 0 q t q \pi}\) Krzywa jest co prawda zamknięta, ale jest to jej połowa tylko

ad. drugi problem
Patrz ... Polar_rose
I aby powstała "pełna" krzywa musi być \(\displaystyle{ 0 q \varphi q 2 \pi}\)
Choć przy obliczaniu pola, wystarczy jeden "listek" i odpowiednio mniejszy zakres zmiany kąta.